Inverta a ordem de integração:
Passo 1
O enunciado pede para trocar a ordem de integração da integral
. O conteúdo aqui é integral dupla e precisamos entender bem o domínio de integração para reescrever os limites.
Passo 2
Primeiro vamos descrever o domínio
no plano
. A condição é:
e para cada
temos
.
Logo
.
Logo
Passo 3
Em seguida identificamos a projeção de
no eixo
. O mínimo de
ocorre em
, dando
, e o máximo em
, dando
. Portanto
varia de
até
.
Passo 4
Para inverter a ordem, fixamos
e resolvemos as desigualdades em
:
implica
,
além de
. Assim
deve estar em
Passo 5
Note que para
temos
e
, então
.
Para temos
e ainda
, então
.
Assim o domínio se separa em duas “faixas” de .
Para
Assim o domínio se separa em duas “faixas” de
Passo 6
Por fim, escrevemos a integral com a ordem trocada como soma de duas integrais: