Inverta a ordem de integração:

Passo 1

O enunciado pede para trocar a ordem de integração da integral . O conteúdo aqui é integral dupla e precisamos entender bem o domínio de integração para reescrever os limites.

Passo 2

Primeiro vamos descrever o domínio R no plano (x,y). A condição é:
0<= x<=1 e para cada x temos
2x<= y<= x+1.
Logo
R=(x,y):0<= x<=1,,2x<= y<= x+1.

Passo 3

Em seguida identificamos a projeção de R no eixo y. O mínimo de y ocorre em x=0, dando y=0, e o máximo em x=1, dando y=2. Portanto y varia de 0 até 2.

Passo 4

Para inverter a ordem, fixamos y e resolvemos as desigualdades em x:
x<= y/2 implica y<= x+1,
x>= y-1 implica 0<= x<=1,
além de x. Assim
deve estar em

Passo 5

Note que para 0<= y<=1 temos y-1<=0 e y/2<=1, então
xin[0,,y/2].
Para 1<= y<=2 temos y-1>=0 e ainda y/2<=1, então
xin[y-1,,y/2].
Assim o domínio se separa em duas “faixas” de y.

Passo 6

Por fim, escrevemos a integral com a ordem trocada como soma de duas integrais:

Resposta

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