Suponha que
seja integrável em um conjunto limitado
.
(a) Mostre que para todo
, a função
é integrável em
e
.
(b) Mostre que se
em
, então
. Conclua que se
é integrável em
e
em
, então
.
(a) Mostre que para todo
(b) Mostre que se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de cálculo que trata de integrais duplas! A questão está dividida em duas partes e envolve mostrar algumas propriedades das integrais de funções em um conjunto limitado $ B \subset \mathbb{R}^2 $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser integrável, como escalar uma função por uma constante, e como comparar integrais de duas funções diferentes. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte (a): precisamos mostrar que, para qualquer número real $ \alpha $, a função $ \alpha f $ também é integrável em $ B $ e que a integral dupla de $ \alpha f $ sobre $ B $ é igual a $ \alpha $ vezes a integral dupla de $ f $ sobre $ B $.
O que isso significa? Basicamente, queremos ver se multiplicar a função $ f $ por uma constante $ \alpha $ não só mantém a função integrável, mas também como isso afeta o valor da integral.
Como resolver:
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Integrabilidade de $ \alpha f $: Sabemos que se $ f $ é integrável em $ B $, então qualquer múltiplo escalar de $ f $, ou seja, $ \alpha f $, também é integrável. Isso porque a multiplicação por uma constante não altera a propriedade de integrabilidade.
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Calculando a integral dupla de $ \alpha f $:A integral de uma função multiplicada por uma constante pode ser fatorada. Ou seja:Por quê? Porque a constante $ \alpha $ pode ser puxada para fora da integral, deixando apenas a integral de $ f $ multiplicada por $ \alpha $.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): precisamos mostrar que se $ f(x, y) \geqslant 0 $ em $ B $, então a integral dupla de $ f $ sobre $ B $ também é maior ou igual a zero. Além disso, devemos concluir que se $ g $ é integrável em $ B $ e $ f(x, y) \geqslant g(x, y) $ em $ B $, então a integral de $ f $ é maior ou igual à integral de $ g $.
Entendendo o que isso significa: Queremos ver como a positividade de uma função afeta o valor da sua integral e como comparar duas funções baseadas nessa propriedade.
Como resolver:
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Integral de uma função não negativa:Se $ f(x, y) \geqslant 0 $ para todo $ (x, y) \in B $, então ao integrar $ f $ sobre $ B $, estamos somando várias áreas positivas ou zero. Logo, o valor da integral será sempre maior ou igual a zero:
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Comparando integrais de $ f $ e $ g $:Se além de $ f(x, y) \geqslant 0 $, também temos que $ g $ é integrável em $ B $ e $ f(x, y) \geqslant g(x, y) $ para todo $ (x, y) \in B $, então a integral de $ f $ será maior ou igual à integral de $ g $. Isso porque, basicamente, estamos comparando duas somas onde uma somando $ f $ sempre é maior ou igual à somando $ g $:
Resposta
(a) Para qualquer $ \alpha \in \mathbb{R} $, a função $ \alpha f $ é integrável em $ B $ e:
(b) Se $ f(x, y) \geqslant 0 $ em $ B $, então:
Além disso, se $ g $ é integrável em $ B $ e $ f(x, y) \geqslant g(x, y) $ em $ B $, então: