Seja um polinómio de coeficientes reais — isto é, todos os coeficientes .
(a) Mostre que para qualquer z in C.
(b) Conclua que se lambda=a+i b, com a, b in R e b neq 0, é raiz de p(z) (isto é, verifica p(lambda)=0 ), então barlambda=a-i b também o é.
(c) Mostre que se n=3 e p tem uma raiz complexa com parte imaginária não-nula, então p possui três raízes distintas.
(d) Calcule todas as raízes complexas de z^3-3 z^2+4 z-2.
Passo 1
O enunciado trata de um polinómio real
p(z)=sumk=0^nakz^k, akinR,
e pede:
(a) provar que p(bar z)=p(z);
(b) deduzir que raízes não-reais vêm em pares conjugados;
(c) no caso n=3, mostrar que se surge uma raiz não-real então as três são distintas;
(d) calcular as raízes de z^3-3z^2+4z-2.
Passo 2
Para (a), usamos que para todo k temos z^k=(bar z)^k e ak=ak (coeficiente real). Assim,
Para (c), suponha n=3 e que existe raiz lambda=a+ib com bneq0. Então por (b) barlambda=a-ib é outra raiz distinta de lambda. Como o polinómio é de grau 3, falta uma raiz real r. Essa raiz real não pode coincidir com lambda nem com barlambda (porque estes têm parte imaginária não nula), logo as três raízes são distintas.
Passo 5
Para (d), considere
f(z)=z^3-3z^2+4z-2
Testamos raízes racionais pm1,pm2. Verifica-se
f(1)=1-3+4-2=0,
logo z=1 é raiz. Fazendo divisão por z-1 obtemos
z^3-3z^2+4z-2=(z-1)(z^2-2z+2)
Resolvendo a equação quadrática z^2-2z+2=0 pela fórmula:
z=2pmraiz(-2)^2-4cdot1cdot22 =2pmraiz-42 =1pm i
Resposta
(a) p(bar z)=p(z).
(b) Se p(lambda)=0 com Imlambdaneq0, então p(barlambda)=0.
(c) Para n=3, as raízes são lambda, barlambda e uma raiz real, todas distintas.
(d) As raízes de z^3-3z^2+4z-2 são