Seja a1=(-1,2,0), a2=(3,2,5) e a3=(52, 3,5). Verifique se estes vetores são LI? Eles geram o R^3 ?

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
a1=(-1,2,0), a2=(3,2,5), a3=l(tfrac52,3,5r)
Precisamos decidir duas coisas: se eles são linearmente independentes (LI) e, em consequência, se geram todo R^3. Para um conjunto de três vetores em R^3, basta montar a matriz cujas colunas são esses vetores e verificar se o determinante é não nulo.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são a1,a2,a3:
A = -1 & 3 & tfrac52 2 & 2 & 3 0 & 5 & 5
O critério de independência diz que se det A neq 0, então os vetores são LI; se det A=0, são linearmente dependentes.

Passo 3

Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha:
det A = -1cdotdet2&35&5 -3cdotdet2&30&5 +tfrac52cdotdet2&20&5
Agora os subdeterminantes:
det2&35&5 =2cdot5 - 3cdot5 = -5, det2&30&5 =2cdot5 - 3cdot0 = 10, det2&20&5 =2cdot5 - 2cdot0 = 10
Substituindo:
det A = -1cdot(-5) - 3cdot10 + tfrac52cdot10 =5 - 30 + 25 = 0

Passo 4

Como det A=0, concluímos que a1,a2,a3 são linearmente dependentes. Um conjunto dependente em R^3 não pode ter posto 3, logo não gera todo R^3.

Resposta

Os vetores não são linearmente independentes (são dependentes) e, portanto, não geram R^3.

Exercícios relacionados