Seja
um sistema completo de resíduos módulo
.
Se
é primo e a um inteiro que não é múltiplo de
, mostre que
(Pequeno Teorema de Fermat);
Se
Passo 1
Vamos resumir o exercício: Precisamos mostrar que se
é um número primo e
é um inteiro que não é múltiplo de
, então
. Esse resultado é conhecido como o Pequeno Teorema de Fermat. Para resolver isso, vamos usar conceitos de congruências, sistemas completos de resíduos e propriedades de números primos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma congruência. Dizemos que dois números
e
são congruentes módulo
, escrito
, se a diferença
é múltiplo de
. Ou seja, eles deixam o mesmo resto quando divididos por
.
Passo 3
Um sistema completo de resíduos módulo
é um conjunto que inclui todos os possíveis restos que você pode obter ao dividir números inteiros por
. No nosso caso, como
é primo, o sistema completo de resíduos será
.
Passo 4
Como
é primo e
não é múltiplo de
, isso significa que
não está no conjunto
do sistema de resíduos. Portanto,
está em
, que são os números coprimos com
. Isso é importante porque números coprimos têm inversos multiplicativos no módulo
.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o Pequeno Teorema de Fermat: se
e
são coprimos e
é primo, então
. A ideia por trás disso é que, no conjunto dos números coprimos com
, multiplicar
por si mesmo
vezes nos retorna a 1 no módulo
.
Resposta
Assim, mostramos que
.