Seja a1, ldots, am um sistema completo de resíduos módulo m.
Mostre que se a é um inteiro, então a1+a, ldots, am+a é um sistema completo de resíduos módulo m;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um conjunto completo de resíduos módulo m , que é a1, a2, ldots, am . O exercício quer que a gente mostre que, se adicionarmos um número inteiro a a cada elemento desse conjunto, o novo conjunto a1 + a, a2 + a, ldots, am + a também será um conjunto completo de resíduos módulo m . Para resolver isso, precisamos entender o que é um conjunto completo de resíduos e como operações com eles funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é um conjunto completo de resíduos módulo m . Um conjunto completo de resíduos módulo m é um conjunto que contém exatamente um representante para cada classe de equivalência módulo m . Isso significa que, se você pegar qualquer número inteiro e calcular seu resto quando dividido por m , ele será igual a exatamente um dos elementos do conjunto.

Passo 3

Agora, queremos adicionar um número inteiro a a cada elemento do nosso conjunto completo de resíduos a1, a2, ldots, am . O que acontece com os resíduos quando fazemos isso? Bem, somar a a cada elemento vai simplesmente “deslocar” todos os resíduos por a unidades. Mas, como estamos trabalhando módulo m , esse deslocamento vai se ajustar dentro do intervalo de 0 a m-1 .

Passo 4

Para garantir que o novo conjunto a1 + a, a2 + a, ldots, am + a ainda seja um conjunto completo de resíduos módulo m , precisamos mostrar que não há repetições e que todos os resíduos possíveis de 0 a m-1 ainda estão presentes. Como os resíduos originais já eram todos diferentes e cobririam todo o intervalo, adicionar a a cada um vai apenas “rotacionar” esses resíduos, mantendo a unicidade e completude.

Passo 5

Matematicamente, podemos expressar isso usando congruências. Se ai equiv ri pmodm para cada i , então ai + a equiv ri + a pmodm . Como ri cobre todos os resíduos possíveis, ri + a também cobrirá todos os resíduos possíveis, apenas em uma ordem diferente.

Resposta

Portanto, o conjunto a1 + a, a2 + a, ldots, am + a é, de fato, um conjunto completo de resíduos módulo m .

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