Seja
um sistema completo de resíduos módulo
.
Mostre que se
é um inteiro, então
é um sistema completo de resíduos módulo
;
Mostre que se
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um conjunto completo de resíduos módulo
, que é
. O exercício quer que a gente mostre que, se adicionarmos um número inteiro
a cada elemento desse conjunto, o novo conjunto
também será um conjunto completo de resíduos módulo
. Para resolver isso, precisamos entender o que é um conjunto completo de resíduos e como operações com eles funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é um conjunto completo de resíduos módulo
. Um conjunto completo de resíduos módulo
é um conjunto que contém exatamente um representante para cada classe de equivalência módulo
. Isso significa que, se você pegar qualquer número inteiro e calcular seu resto quando dividido por
, ele será igual a exatamente um dos elementos do conjunto.
Passo 3
Agora, queremos adicionar um número inteiro
a cada elemento do nosso conjunto completo de resíduos
. O que acontece com os resíduos quando fazemos isso? Bem, somar
a cada elemento vai simplesmente “deslocar” todos os resíduos por
unidades. Mas, como estamos trabalhando módulo
, esse deslocamento vai se ajustar dentro do intervalo de
a
.
Passo 4
Para garantir que o novo conjunto
ainda seja um conjunto completo de resíduos módulo
, precisamos mostrar que não há repetições e que todos os resíduos possíveis de
a
ainda estão presentes. Como os resíduos originais já eram todos diferentes e cobririam todo o intervalo, adicionar
a cada um vai apenas “rotacionar” esses resíduos, mantendo a unicidade e completude.
Passo 5
Matematicamente, podemos expressar isso usando congruências. Se
para cada
, então
. Como
cobre todos os resíduos possíveis,
também cobrirá todos os resíduos possíveis, apenas em uma ordem diferente.
Resposta
Portanto, o conjunto
é, de fato, um conjunto completo de resíduos módulo
.