Seja
um sistema completo de resíduos módulo
.
Se
, então
é um sistema completo de resíduos módulo
. Mostre que vale a recíproca;
Se
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre sistemas completos de resíduos módulo
. A ideia central é entender como multiplicar cada elemento desse sistema por um número
que é coprimo com
(ou seja,
) e ver se o resultado ainda forma um sistema completo de resíduos. Precisamos mostrar que, se ao multiplicar cada elemento por
ainda temos um sistema completo, então necessariamente
e
são coprimos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um sistema completo de resíduos módulo
. É um conjunto de
números inteiros onde cada inteiro de
a
aparece exatamente uma vez quando consideramos os resíduos desses números em relação a
.
Por exemplo, se
, um sistema completo de resíduos seria
ou qualquer permutação desses números.
Passo 3
Agora, sabemos que
é um sistema completo de resíduos módulo
. Queremos multiplicar cada elemento por
para formar
e garantir que esse novo conjunto também seja um sistema completo.
Passo 4
A condição dada é que
, ou seja,
e
são coprimos. Isso é importante porque, se dois números são coprimos, então
tem um inverso multiplicativo módulo
. Isso significa que existe algum número
tal que
.
Passo 5
Agora, queremos mostrar a recíproca: se
é um sistema completo de resíduos módulo
, então
.
Vamos supor que
. Isso significa que
e
têm algum divisor comum
.
Passo 6
Se
divide tanto
quanto
, então para qualquer
, temos
. Isso implica que todos os
são múltiplos de
.
Passo 7
Mas se todos os
são múltiplos de
, então ao considerar módulo
, não conseguimos obter todos os resíduos possíveis de
a
, já que estamos limitados aos múltiplos de
. Ou seja, o conjunto
não consegue cobrir todos os resíduos distintos módulo
.
Passo 8
Isso contraria a suposição de que
é um sistema completo de resíduos módulo
. Portanto, nossa suposição inicial de que
está errada.
Resposta
Conseguimos provar que, se
é um sistema completo de resíduos módulo
, então necessariamente
.