Seja
uma matriz
com entradas
. Avalie as seguintes afirmativas: Se todos os elementos da diagonal principal de
são nulos, então
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz
de ordem
cujos elementos da diagonal principal são todos zero, e quer saber se isso implica
. O conteúdo envolvido é a definição de determinante (fórmula de Leibniz) e como termos fora da diagonal podem contribuir.
Passo 2
Pela fórmula de Leibniz,
onde
é o conjunto de permutações de
. O termo da permutação identidade
é
pois todos os
são nulos. Mas a soma envolve também permutações diferentes da identidade, cujos produtos podem não anular.
Passo 3
Para ver que o determinante pode ser não-zero, basta um exemplo em ordem
. Considere
Aqui a diagonal é
, mas há a permutação
sem pontos fixos que gera o produto
.]
Passo 4
Calculando o determinante de
:
Resposta
A afirmativa é falsa. Uma matriz com diagonal nula pode ter determinante não-zero, como mostrou o exemplo
.