Seja A=(ai j) uma matriz n times n com entradas ai j in R. Avalie as seguintes afirmativas: Se todos os elementos da diagonal principal de A são nulos, então det(A)=0.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz A=(aij) de ordem n cujos elementos da diagonal principal são todos zero, e quer saber se isso implica det(A)=0. O conteúdo envolvido é a definição de determinante (fórmula de Leibniz) e como termos fora da diagonal podem contribuir.

Passo 2

Pela fórmula de Leibniz,
det(A)=sumsigmain Snsgn(sigma),prodi=1^nai,sigma(i),
onde Sn é o conjunto de permutações de 1,dots,n. O termo da permutação identidade sigma=id é
prodi=1^nai,i=0
pois todos os ai,i são nulos. Mas a soma envolve também permutações diferentes da identidade, cujos produtos podem não anular.

Passo 3

Para ver que o determinante pode ser não-zero, basta um exemplo em ordem 2. Considere
A=0 & 1[6pt]1 & 0
Aqui a diagonal é (0,0), mas há a permutação sigma=(1;2) sem pontos fixos que gera o produto a1,2a2,1=1cdot1.]

Passo 4

Calculando o determinante de A:
det(A)=0cdot0-1cdot1=-1neq0

Resposta

A afirmativa é falsa. Uma matriz com diagonal nula pode ter determinante não-zero, como mostrou o exemplo 0&11&0.

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