Seja A=(ai j) uma matriz real n times n. Considere o sistema A x=b abaixo e julgue as afirmativas: Se o vetor b é combinação linear das colunas de A, então o sistema admite solução.

Passo 1

O enunciado aborda sistemas lineares da forma A x = b, com A uma matriz real ntimes n e binR^n. O conteúdo central é a interpretação do produto A x como combinação linear das colunas de A. Vamos usar essa ideia para julgar a afirmativa.

Passo 2

Lembre que se escrevemos A=[,c1;c2;cdots;cn], onde cada cj é a j-ésima coluna de A, então
A x ;=; x1,c1 ;+; x2,c2 ;+;cdots+;xn,cn
Portanto, dizer que b é combinação linear das colunas de A significa exatamente que existem escalares x1,dots,xn tais que
b ;=; x1,c1 + x2,c2 + cdots + xn,cn,
ou seja, que existe um vetor x=(x1,dots,xn)^T satisfa-zendo A x = b.

Passo 3

Da equivalência acima segue imediatamente que “ b é combinação linear das colunas de A” se e somente se “existe x tal que A x=b”. Logo, a afirmativa é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro.

Exercícios relacionados