Seja A=(ai j) uma matriz real n times n. Considere o sistema A x=b abaixo e julgue as afirmativas: Qualquer sistema de m equações lineares com n incógnitas tem infinitas soluções se n>m.

Passo 1

O enunciado pede para julgar a afirmação: “Qualquer sistema de m equações lineares com n incógnitas tem infinitas soluções se n>m”. O tema envolvido é teoria de sistemas lineares, mais especificamente as condições de existência e multiplicidade de soluções em função da classificação pelo posto (rank) da matriz do sistema.

Passo 2

Lembremos do teorema fundamental sobre o espaço de soluções de um sistema linear : se o sistema for consistente (ao menos uma solução existe), então o conjunto de todas as soluções forma um espaço afim de dimensão
Aqui , pois há equações.

Passo 3

Se , então , logo
implicando que, em caso de consistência, o espaço de soluções tem dimensão pelo menos 1 e portanto é infinito (infinitos graus de liberdade).

Passo 4

Porém a afirmação diz “qualquer sistema”, sem exigir que ele seja consistente. Um sistema inconsistente (por exemplo, duas equações contraditórias) não admite nem mesmo solução única; tem zero soluções.

Passo 5

Contraexemplo simples:
Aqui (n>m] (duas incógnitas, uma equação “efetiva”), mas o sistema é inconsistente e não possui nenhuma solução.

Passo 6

Logo a afirmação é falsa, pois não basta n>m para garantir infinitas soluções: é preciso também que o sistema seja consistente.

Resposta

Falsa.

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