Seja
uma matriz real
. Considere o sistema
abaixo e julgue as afirmativas: Qualquer sistema de
equações lineares com
incógnitas tem infinitas soluções se
.
Passo 1
O enunciado pede para julgar a afirmação: “Qualquer sistema de
equações lineares com
incógnitas tem infinitas soluções se
”. O tema envolvido é teoria de sistemas lineares, mais especificamente as condições de existência e multiplicidade de soluções em função da classificação pelo posto (rank) da matriz do sistema.
Passo 2
Lembremos do teorema fundamental sobre o espaço de soluções de um sistema linear
: se o sistema for consistente (ao menos uma solução existe), então o conjunto de todas as soluções forma um espaço afim de dimensão
Aqui , pois há
equações.
Passo 3
Se
, então , logo
implicando que, em caso de consistência, o espaço de soluções tem dimensão pelo menos 1 e portanto é infinito (infinitos graus de liberdade).
Passo 4
Porém a afirmação diz “qualquer sistema”, sem exigir que ele seja consistente. Um sistema inconsistente (por exemplo, duas equações contraditórias) não admite nem mesmo solução única; tem zero soluções.
Passo 5
Contraexemplo simples:
Aqui (n>m] (duas incógnitas, uma equação “efetiva”), mas o sistema é inconsistente e não possui nenhuma solução.
Passo 6
Logo a afirmação é falsa, pois não basta
para garantir infinitas soluções: é preciso também que o sistema seja consistente.
Resposta
Falsa.