1. Seja A=(ai j) uma matriz quadrada de ordem n. O traço de A, denotado por tr(A), é definido como sendo o número real
tr(A)=sumk=1^n ak k=a11+a22+cdots an n
ou seja, o traço de A é a soma dos elementos da diagonal principal de A. Dadas A e B matrizes de ordem 2 , mostre que valem as seguintes propriedades
(a) tr(A+B)=tr(A)+tr(B).
(b) tr(k A)=k tr(A), k in R.
(c) tr(A^T)=tr(A).
(d) tr(A B)=tr(B A).
(e) Usando algumas destas propriedades verifique que não existem A e B, matrizes quadradas de ordem 2, tais que A B-B A=I.

Passo 1

O enunciado define o traço de uma matriz A=(aij) de ordem n por
tr(A)=sumk=1^nakk
Para matrizes A,Bin M2(R) devemos mostrar:
(a) tr(A+B)=tr(A)+tr(B),
(b) tr(kA)=k,tr(A),
(c) tr(A^T)=tr(A),
(d) tr(AB)=tr(BA),
(e) usar alguma dessas propriedades para verificar que não existem A,B tais que AB-BA=I.

Passo 2

Prova de (a): seja C=A+B. Então
cii=aii+bii,
logo
tr(A+B) =tr(C) =c11+c22 =(a11+b11)+(a22+b22) =tr(A)+tr(B)

Passo 3

Prova de (b): em kA temos (kA)ii=k,aii. Assim
tr(kA) =k,a11+k,a22 =k,(a11+a22) =k,tr(A)

Passo 4

Prova de (c): em A^T vale (A^T)ii=aii. Então
tr(A^T) =a11+a22 =tr(A)

Passo 5

Prova de (d): calculemos
(AB)11=a11b11+a12b21, (AB)22=a21b12+a22b22,
logo
tr(AB) =a11b11+a12b21+a21b12+a22b22
De modo análogo
(BA)11=b11a11+b12a21, (BA)22=b21a12+b22a22,
e pela comutatividade em R obtemos o mesmo somatório. Logo
tr(BA)=tr(AB)

Passo 6

Prova de (e): suponha que existam A,Bin M2(R) com
AB-BA=I
Tome o traço em ambos os lados. Pela linearidade e pelo item (d):
tr(AB)-tr(BA) =tr(I)=2
Mas tr(AB)=tr(BA) implica 0=2, contradição. Portanto não existem tais matrizes.

Resposta

(a) tr(A+B)=tr(A)+tr(B)
(b) tr(kA)=k,tr(A)
(c) tr(A^T)=tr(A)
(d) tr(AB)=tr(BA)
(e) Não existem A,Bin M2(R) tais que AB-BA=I.

Exercícios relacionados