- Seja
uma matriz quadrada de ordem
. O traço de
, denotado por
, é definido como sendo o número real
ou seja, o traço de
é a soma dos elementos da diagonal principal de
. Dadas
e
matrizes de ordem 2 , mostre que valem as seguintes propriedades
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(e) Usando algumas destas propriedades verifique que não existem
e
, matrizes quadradas de ordem 2, tais que
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Usando algumas destas propriedades verifique que não existem
Passo 1
O enunciado define o traço de uma matriz
de ordem
por
Para matrizes
devemos mostrar:
(a) ,
(b) ,
(c) ,
(d) ,
(e) usar alguma dessas propriedades para verificar que não existem tais que
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) usar alguma dessas propriedades para verificar que não existem
Passo 2
Prova de (a): seja
. Então
logo
Passo 3
Prova de (b): em
temos
. Assim
Passo 4
Prova de (c): em
vale
. Então
Passo 5
Prova de (d): calculemos
logo
De modo análogo
e pela comutatividade em
obtemos o mesmo somatório. Logo
Passo 6
Prova de (e): suponha que existam
com
Tome o traço em ambos os lados. Pela linearidade e pelo item (d):
Mas
implica
, contradição. Portanto não existem tais matrizes.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Não existem tais que
.
(b)
(c)
(d)
(e) Não existem