Sejam A=(ccc2 & -1 & -3 1 & -1 & 1 -3 & 2 & 2), x=(lx1 x2 x3) e b=(lb1 b2 b3). Classifique as afirmações abaixo em V (verdadeiro) ou F (falso): O sistema A x=b tem solução se, e somente se, b1+b2+b3=0.

Passo 1

O enunciado pergunta sobre a existência de solução do sistema linear Ax=b, em que
A = 2 & -1 & -3 [6pt] 1 & -1 & 1 [6pt] -3 & 2 & 2, x = x1 [3pt] x2 [3pt] x3, b = b1 [3pt] b2 [3pt] b3
O conteúdo principal aqui é determinação de consistência de sistemas pelo estudo de dependência linear das equações (rank da matriz ou soma das linhas).]

Passo 2

Escrevendo as três equações do sistema:
2x1 - x2 - 3x3 = b1,
x1 - x2 + x3 = b2,
-3x1 + 2x2 + 2x3 = b3
Somando membro a membro, obtemos
(2 + 1 - 3)x1 + (-1 -1 + 2)x2 + (-3 + 1 + 2)x3 = b1 + b2 + b3,
isto é,
0cdot x1 + 0cdot x2 + 0cdot x3 = b1 + b2 + b3,
logo
b1 + b2 + b3 = 0

Passo 3

A soma das três linhas em zero mostra que rank(A)=2, logo há exatamente duas equações independentes. Para que o sistema seja consistente, b deve pertencer ao espaço gerado pelas colunas de A, o que equivale a exigir que o vetor b seja ortogonal ao vetor do left-nullspace (1,1,1). Esse produto interno é
(1,1,1)cdot(b1,b2,b3) = b1 + b2 + b3,
logo a condição necessária e suficiente para existir solução é
b1 + b2 + b3 = 0

Resposta

Verdadeiro (V)

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