Seja A=(ai j) uma matriz real n times n. Considere o sistema A x=b abaixo e julgue as afirmativas: Se a forma escalonada de A tem linhas nulas, então o sistema não tem solução ou possui um número infinito de soluções.

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz real ntimes n e o sistema
Ax = b
e pede para julgar a afirmação: “Se a forma escalonada de A tem linhas nulas, então o sistema não tem solução ou possui um número infinito de soluções.”
O conteúdo principal é o conceito de posto (rank) da matriz, matriz singular e o Teorema de Rouché–Capelli para sistemas lineares.

Passo 2

Uma linha nula na forma escalonada de A significa que
rank(A) < n,
ou seja, det(A)=0 e A é singular. Pelo Teorema de Rouché–Capelli, denotando rank([Amid b]) o posto da matriz ampliada, temos:
rank(A)=rank([Amid b])<n &Rightarrow sistema compatível indeterminado (infinitas soluções), rank(A)<rank([Amid b]) &Rightarrow sistema incompatível (nenhuma solução) íçõíçã

Passo 3

Portanto, sempre que a forma escalonada de A apresentar linhas nulas, o sistema Ax=b ou não admitirá soluções ou admitirá infinitas soluções, sem possibilidade de solução única.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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