Seja A=(ai j) uma matriz real n times n. Considere o sistema A x=b abaixo e julgue as afirmativas: Se det(A)=det(Ax 1)=ldots=det(Ax n)=0, então o sistema não tem solução.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema linear A x = b onde A é uma matriz real ntimes n. Nos é dado que
det(A)=0 e detl(Ax1r)=cdots=detl(Axnr)=0,
onde Axi é a matriz obtida de A substituindo-se a i-ésima coluna por b. O tema aqui é resolver sistemas lineares usando o conceito de determinante (Regra de Cramer) e posto (rank) de matrizes.

Passo 2

Como det(A)=0, concluímos que
rank(A)<= n-1
Isto significa que as linhas (ou colunas) de A são linearmente dependentes e, portanto, A não é invertível.

Passo 3

Por outro lado, cada detl(Axir)=0 implica que, ao se formar a matriz aumentada l[Amid br], nenhum dos determinantes dos ntimes n subblocos contendo b atinge valor diferente de zero. Logo,
rankl([Amid b]r)<= n-1

Passo 4

Como rank(A)<= n-1 e rank([Amid b])<= n-1, temos
rank(A) ;=;rankl([Amid b]r);<,n
Pelo Teorema de Rouché–Capelli, quando o posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz aumentada (e menor que n), o sistema é compatível indeterminado, ou seja, existe solução, mas em número infinito.

Resposta

A afirmação “se det(A)=det(Ax1)=dots=det(Axn)=0 então o sistema não tem solução” é falsa. Na verdade, sob essas condições o sistema tem infinitas soluções.

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