Seja
uma matriz real
. Considere o sistema
abaixo e julgue as afirmativas: Se
, então o sistema não tem solução.
Passo 1
O enunciado trata de um sistema linear
onde
é uma matriz real
. Nos é dado que
onde
é a matriz obtida de
substituindo-se a
-ésima coluna por
. O tema aqui é resolver sistemas lineares usando o conceito de determinante (Regra de Cramer) e posto (rank) de matrizes.
Passo 2
Como
, concluímos que
Isto significa que as linhas (ou colunas) de
são linearmente dependentes e, portanto,
não é invertível.
Passo 3
Por outro lado, cada
implica que, ao se formar a matriz aumentada
, nenhum dos determinantes dos
subblocos contendo
atinge valor diferente de zero. Logo,
Passo 4
Como
e
, temos
Pelo Teorema de Rouché–Capelli, quando o posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz aumentada (e menor que
), o sistema é compatível indeterminado, ou seja, existe solução, mas em número infinito.
Resposta
A afirmação “se
então o sistema não tem solução” é falsa. Na verdade, sob essas condições o sistema tem infinitas soluções.