Seja
uma matriz
com entradas
. Avalie as seguintes afirmativas: Se
, então
, em que
é a matriz identidade.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz quadrada
sobre
e satisfaz
Queremos verificar se isso implica que
é invertível e mostrar que
Para isso, vamos usar a definição de matriz inversa e o fato de que, em matrizes quadradas, existir inversa à direita (ou à esquerda) já garante a invertibilidade.
Passo 2
Da relação dada, fatoramos
à esquerda:
Isso significa que a matriz
é uma inversa à direita de
, pois multiplicando
por
obtemos a identidade.
Passo 3
Em matrizes quadradas sobre um corpo (como
), o fato de existir uma inversa à direita implica que ela é de fato inversa à esquerda também e que
é invertível. Para ver explicitamente a inversa à esquerda, basta fatorar do outro lado:
Portanto,
é simultaneamente inversa à direita e à esquerda de
, o que mostra que
Resposta
A afirmativa é verdadeira: se
, então
.