Seja A=(ai j) uma matriz n times n com entradas ai j in R. Avalie as seguintes afirmativas: Se A^2+A=I, então A^-1=A+I, em que I é a matriz identidade.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz quadrada ntimes n sobre R e satisfaz
A^2 + A = I
Queremos verificar se isso implica que A é invertível e mostrar que
A^-1 = A + I
Para isso, vamos usar a definição de matriz inversa e o fato de que, em matrizes quadradas, existir inversa à direita (ou à esquerda) já garante a invertibilidade.

Passo 2

Da relação dada, fatoramos A à esquerda:
A^2 + A = I Longrightarrow A,(A + I) = I
Isso significa que a matriz A+I é uma inversa à direita de A, pois multiplicando A por A+I obtemos a identidade.

Passo 3

Em matrizes quadradas sobre um corpo (como R), o fato de existir uma inversa à direita implica que ela é de fato inversa à esquerda também e que A é invertível. Para ver explicitamente a inversa à esquerda, basta fatorar do outro lado:
(A + I),A = A^2 + A = I
Portanto, A+I é simultaneamente inversa à direita e à esquerda de A, o que mostra que
A^-1 = A + I

Resposta

A afirmativa é verdadeira: se A^2+A=I, então A^-1=A+I.

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