1. Calcule x para que
\left|\begin{array}{ccc} x+2 & 2 & -x \\ 4 & 0 & 5 \\ 6 & 2 x & x \end{array}\right|=14

Passo 1

O enunciado pede para encontrar x que satisfaz a equação determinada pelo determinante da matriz 3\times3:
\left|\begin{array}{ccc} x+2 & 2 & -x \\\\ 4 & 0 & 5 \\\\ 6 & 2x & x \end{array}\right| = 14.
Informações dadas:
  • A matriz é \begin{pmatrix}x+2 & 2 & -x \\[4pt] 4 & 0 & 5 \\[4pt] 6 & 2x & x\end{pmatrix}.
  • A incógnita é x.
  • A condição é que o determinante dessa matriz valha 14.
    O que se pede:
  • Determinar todos os valores de x que tornam verdadeiro o igual a 14.]

Passo 2

Método escolhido e lição rápida: para uma matriz 3\times3 é prático usar a regra de Sarrus (método direto e elementar). Vou explicar a regra de Sarrus:
Seja a matriz
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}.
A regra de Sarrus diz que
\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} - \bigl(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).
Cada produto corresponde à multiplicação dos elementos das três diagonais principais (positivas) menos as três diagonais secundárias (negativas). É uma fórmula direta e útil para 3\times3.]

Passo 3

Identificar os coeficientes da matriz (pegar da matriz do enunciado):
a_{11}=x+2,\quad a_{12}=2,\quad a_{13}=-x,
a_{21}=4,\quad a_{22}=0,\quad a_{23}=5,
a_{31}=6,\quad a_{32}=2x,\quad a_{33}=x.
Agora aplico a soma das diagonais positivas (primeira parte da regra de Sarrus):
\begin{aligned} \text{soma}_+ &= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\\ &= (x+2)\cdot 0 \cdot x \;+\; 2\cdot 5 \cdot 6 \;+\; (-x)\cdot 4 \cdot (2x). \end{aligned}
Calcular cada termo:
(x+2)\cdot 0 \cdot x = 0, \qquad 2\cdot 5 \cdot 6 = 60, \qquad (-x)\cdot 4 \cdot (2x) = -8x^2.
Logo
\text{soma}_+ = 60 - 8x^2.

Passo 4

Agora a soma das diagonais negativas (segunda parte da regra de Sarrus):
\begin{aligned} \text{soma}_- &= a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33} \\\ &= (-x)\cdot 0 \cdot 6 \;+\; (x+2)\cdot 5 \cdot (2x) \;+\; 2\cdot 4 \cdot x. \end{aligned}
Calcular cada termo:
(-x)\cdot 0 \cdot 6 = 0, \qquad (x+2)\cdot 5 \cdot (2x) = 10x(x+2)=10x^2+20x, \qquad 2\cdot 4 \cdot x = 8x.
Portanto
\text{soma}_- = 10x^2 + 20x + 8x = 10x^2 + 28x.

Passo 5

Agora o determinante pela regra de Sarrus é
\det = \text{soma}_+ - \text{soma}_- = (60 - 8x^2) - (10x^2 + 28x).
Simplificando:
\det = 60 - 8x^2 - 10x^2 - 28x = 60 - 18x^2 - 28x.

Passo 6

Impor a condição do enunciado: \det = 14. Então
60 - 18x^2 - 28x = 14.
Passo a expressão tudo para um lado para formar uma equação polinomial:
60 - 18x^2 - 28x - 14 = 0.
Simplificando termos constantes:
-18x^2 - 28x + 46 = 0.
Multiplico por -1 para ficar mais confortável:
18x^2 + 28x - 46 = 0.
Divido todos os coeficientes por 2 (fator comum) para simplificar:
9x^2 + 14x - 23 = 0.

Passo 7

Resolver a equação quadrática \;9x^2 + 14x - 23 = 0\; usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Lembrete da fórmula: para \;ax^2+bx+c=0\;,
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},
onde a=9, b=14, c=-23.
Calcular o discriminante:
\Delta = b^2 - 4ac = 14^2 - 4\cdot 9 \cdot (-23).
Calcular os valores:
14^2 = 196, \qquad 4\cdot 9 \cdot (-23) = -828,
logo
\Delta = 196 - (-828) = 196 + 828 = 1024.
Como \Delta=1024 e \sqrt{1024}=32, temos raízes
x=\frac{-14 \pm 32}{2\cdot 9} = \frac{-14 \pm 32}{18}.
Calcular cada caso:
x_1=\frac{-14+32}{18}=\frac{18}{18}=1, \qquad x_2=\frac{-14-32}{18}=\frac{-46}{18}=-\frac{23}{9}.

Passo 8

Breve verificação rápida (confirmação intuitiva): para x=1 a matriz fica \begin{pmatrix}3&2&-1\\[4pt]4&0&5\\[4pt]6&2&1\end{pmatrix} e a aplicação da regra de Sarrus retorna determinante 14 (já visto nos cálculos anteriores). Para x=-\tfrac{23}{9} a equação quadrática foi satisfeita algebraicamente, portanto também é solução válida.]

Resposta

x=1
x=-\dfrac{23}{9}

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