Seja A\left[\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right]=10. Calcule, usando as propriedades dos determinantes:
\left|\begin{array}{rrr}a & b & c \\g+d & h+e & i+f \\d & e & f\end{array}\right|
Passo 1
O enunciado nos dá a seguinte informação e pede um valor:
Foi dado que A = \left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i \end{array}\right| = 10.
Deve-se calcular o determinante
\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\\ g+d & h+e & i+f \\\ d & e & f \end{array}\right|.
Passo 2
Vamos listar as propriedades de determinantes que vamos usar (explicadas de forma simples):
Linearidade em uma linha (ou coluna): o determinante é uma função linear em cada linha quando as outras linhas estão fixas. Em palavras: se R e S são vetores-linha e k é escalar, então
Isso significa que podemos “distribuir” uma soma que aparece numa linha em dois determinantes somados.
Se duas linhas de uma matriz são iguais, o determinante vale zero. Intuição rápida: trocar essas duas linhas não altera a matriz, mas trocar linhas muda o sinal do determinante; a única forma consistente é o determinante ser zero.
Trocar duas linhas altera o sinal do determinante: se trocamos duas linhas, o determinante fica multiplicado por -1.
Para fixar a ideia da linearidade, um exemplo simples 2×2 (apenas para entender): com R_1=(1,0) e R_2=(2+3,4+5),
a matriz cujo determinante queremos é a que tem linhas R_1,\;R_2+R_3,\;R_2. Aplicando a linearidade na segunda linha:
\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\\ g+d & h+e & i+f \\\ d & e & f \end{array}\right| = \det(R_1,\;R_2+R_3,\;R_2) = \det(R_1,R_2,R_2)+\det(R_1,R_3,R_2).
Passo 4
Avaliaremos os dois termos do lado direito:
O primeiro termo é \det(R_1,R_2,R_2). Como as segunda e terceira linhas são iguais (R_2 e R_2), por propriedade, esse determinante vale 0:
\det(R_1,R_2,R_2)=0.
Passo 5
O segundo termo é \det(R_1,R_3,R_2). Observe que trocar as linhas 2 e 3 transforma \det(R_1,R_3,R_2) em \det(R_1,R_2,R_3) mas multiplicando por -1. Ou seja,
\det(R_1,R_3,R_2) = -\det(R_1,R_2,R_3).
Mas \det(R_1,R_2,R_3) é exatamente o determinante dado A. Logo
\det(R_1,R_3,R_2) = -A = -10.
Passo 6
Juntando os termos do Passo 3:
\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\\ g+d & h+e & i+f \\\ d & e & f \end{array}\right| = 0 + \det(R_1,R_3,R_2) = -10.