Seja alpha:[a, b] R^3 uma função vetorial de classe C^3, sejam T, N e B os vetores do triedro de Frenet de alpha e sejam k e tau a curvatura e a torção de alpha, respectivamente.
Mostre que B cdot T^prime prime=(d sd t)^2 k tau.
Dica: Utilize o fato de que T^prime=k d sd t N para calcular T^prime prime.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o produto escalar entre o vetor binormal B e a segunda derivada de T em relação a t satisfaz
BcdotT''=(tfracdsdt)^2,k,tau
Aqui alpha(t) é uma curva de classe C^3, s é o parâmetro de comprimento de arco, T,N,B é o triedro de Frenet, k a curvatura e tau a torção. Vamos usar derivação de produto e as fórmulas de Frenet.

Passo 2

Começamos lembrando que pela definição de curvatura e do parâmetro de arco temos
T'(t)=k(t),dsdt;N(t)
Isto é dado na dica do problema.

Passo 3

Para obter T''(t), derivamos a expressão anterior em relação a t usando regra do produto:
T''= racddtl(k,tfracdsdtr)N+k,tfracdsdt,dNdt

Passo 4

Precisamos de dNdt. Como d/dt=(ds/dt),d/ds e pela fórmula de Frenet
dNds=-k,T+tau,B,
segue
dNdt=(tfracdsdt)l(-k,T+tau,Br)

Passo 5

Substituindo em T'' obtemos
T''= racddtl(k,tfracdsdtr)N + k,tfracdsdt,(tfracdsdt)(-k,T+tau,B)
Agrupando,
T''=l[ddt(k,tfracdsdt)r]N + (tfracdsdt)^2,k,(-k,T+tau,B)

Passo 6

Agora fazemos o produto escalar com B. Sabendo que T,N,B é ortonormal, temos:
  • BcdotN=0
  • BcdotT=0
  • BcdotB=1
    Portanto
BcdotT''=(tfracdsdt)^2,k,[ -k(BcdotT) + tau(BcdotB) ]=(tfracdsdt)^2,k,tau

Resposta

(tfracdsdt)^2,k,tau

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