Seja
uma função vetorial de classe
, sejam
e
os vetores do triedro de Frenet de
e sejam
e
a curvatura e a torção de alpha, respectivamente.
Mostre que
.
Dica: Utilize o fato de que
para calcular
.
Mostre que
Dica: Utilize o fato de que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o produto escalar entre o vetor binormal
e a segunda derivada de
em relação a
satisfaz
Aqui
é uma curva de classe
,
é o parâmetro de comprimento de arco,
é o triedro de Frenet,
a curvatura e
a torção. Vamos usar derivação de produto e as fórmulas de Frenet.
Passo 2
Começamos lembrando que pela definição de curvatura e do parâmetro de arco temos
Isto é dado na dica do problema.
Passo 3
Para obter
, derivamos a expressão anterior em relação a
usando regra do produto:
Passo 4
Precisamos de
. Como
e pela fórmula de Frenet
segue
Passo 5
Substituindo em
obtemos
Agrupando,
Passo 6
Agora fazemos o produto escalar com
. Sabendo que
é ortonormal, temos:
-
-
-
Portanto