Seja alpha a curva definida por alpha(t)=(3 t-t^3, 3 t^2, 3 t+t^3). Determine em t=2 a curvatura de alpha.

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para determinar a curvatura da curva alpha(t) = (3 t - t^3, 3 t^2, 3 t + t^3) no ponto onde t = 2. Vamos trabalhar com cálculo vetorial, especificamente usando derivadas para encontrar a curvatura.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da curva, ou seja, alpha'(t). Isso significa derivar cada componente de alpha(t) em relação a t.
alpha'(t) = (ddt(3t - t^3), ddt(3t^2), ddt(3t + t^3))
Calculando cada derivada:
alpha'(t) = (3 - 3t^2, 6t, 3 + 3t^2)

Passo 3

Agora, encontramos a segunda derivada da curva, alpha''(t), que é a derivada de alpha'(t) em relação a t.
alpha''(t) = (ddt(3 - 3t^2), ddt(6t), ddt(3 + 3t^2))
Calculando cada derivada:
alpha''(t) = (-6t, 6, 6t)

Passo 4

A fórmula para a curvatura kappa de uma curva parametrizada é:
kappa(t) = ||alpha'(t) times alpha''(t)||||alpha'(t)||^3
Vamos calcular o produto vetorial alpha'(t) times alpha''(t).
Usando os vetores:
alpha'(t) = (3 - 3t^2, 6t, 3 + 3t^2)
alpha''(t) = (-6t, 6, 6t)
O produto vetorial é dado por:
alpha'(t) times alpha''(t) = i & j & k 3 - 3t^2 & 6t & 3 + 3t^2 -6t & 6 & 6t
Calculando o determinante:
alpha'(t) times alpha''(t) = i(6t cdot 6t - 3 cdot 6) - j((3 - 3t^2) cdot 6t - (-6t) cdot (3 + 3t^2)) + k((3 - 3t^2) cdot 6 - (-6t) cdot 6t)
Simplificando cada componente:
= i(36t^2 - 18) - j(18t - 18t^3 + 18t + 18t^3) + k(18 - 18t^2 + 36t^2)
= i(36t^2 - 18) - j(36t) + k(18 + 18t^2)

Passo 5

Vamos calcular a norma do produto vetorial ||alpha'(t) times alpha''(t)||.
Usando o resultado anterior:
alpha'(t) times alpha''(t) = (36t^2 - 18, -36t, 18 + 18t^2)
A norma é:
||alpha'(t) times alpha''(t)|| = raiz(36t^2 - 18)^2 + (-36t)^2 + (18 + 18t^2)^2

Passo 6

Agora, vamos calcular a norma de alpha'(t), ou seja, ||alpha'(t)||.
alpha'(t) = (3 - 3t^2, 6t, 3 + 3t^2)
Então,
||alpha'(t)|| = raiz(3 - 3t^2)^2 + (6t)^2 + (3 + 3t^2)^2
Simplificando:
= raiz(9 - 18t^2 + 9t^4) + 36t^2 + (9 + 18t^2 + 9t^4)
= raiz18 + 18t^4
= raiz18(t^4 + 1)

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da curvatura:
kappa(t) = ||alpha'(t) times alpha''(t)||||alpha'(t)||^3
Substituindo as normas encontradas:
kappa(t) = raiz(36t^2 - 18)^2 + (-36t)^2 + (18 + 18t^2)^2(raiz18(t^4 + 1))^3
Simplificando o denominador:
= raiz(36t^2 - 18)^2 + 1296t^2 + (18 + 18t^2)^218^3/2(t^4 + 1)^3/2

Passo 8

Finalmente, vamos substituir t = 2 na expressão da curvatura para encontrar o valor numérico.
Primeiro, calculamos os componentes:
36(2)^2 - 18 = 144 - 18 = 126
-36(2) = -72
18 + 18(2)^2 = 18 + 72 = 90
Então,
||alpha'(2) times alpha''(2)|| = raiz126^2 + (-72)^2 + 90^2 = raiz15876 + 5184 + 8100 = raiz29160 approx 170.76
Agora, a norma de alpha'(2):
||alpha'(2)|| = raiz18(2^4 + 1) = raiz18(16 + 1) = raiz18 times 17 = raiz306 approx 17.49
Elevando ao cubo:
||alpha'(2)||^3 approx 17.49^3 approx 5350.8
Finalmente, a curvatura:
kappa(2) = 170.765350.8 approx 0.0319

Resposta

A curvatura da curva alpha(t) = (3 t - t^3, 3 t^2, 3 t + t^3) em t = 2 é aproximadamente 0,0319.

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