Seja alpha>0.
Determine todas as possíveis soluções. Dicas: faça u(x)=x+y(x)-1 e use (arctan u)^prime=u^primeu^2+1.

Passo 1

O enunciado leva à equação diferencial
1 + y'1 + l(x + y - 1r)^2 = alpha,
com alpha>0. Fazendo a substituição
u(x) = x + y(x) - 1
temos
u' = 1 + y'
Como
l(arctan ur)' = u'1 + u^2,
a equação original fica
l(arctan ur)' = alpha

Passo 2

Integramos em x:
integral l(arctan ur)' ,dx = integral alpha ,dx Longrightarrow arctan u = alpha x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 3

Aplicando a tangente em ambos os lados,
u = tanl(alpha x + Cr)

Passo 4

Voltando à variável y,
x + y - 1 = tanl(alpha x + Cr) Longrightarrow y(x) = 1 - x + tanl(alpha x + Cr)
O domínio de cada solução exige alpha x + C neq tfracpi2 + kpi, kinZ, para evitar as descontinuidades da tangente.

Resposta

A família geral de soluções é
boxedy(x) = 1 - x + tanl(alpha x + Cr),
com constante arbitrária C e domínio em que alpha x + C neq tfracpi2 + kpi.

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