Seja \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma curva parametrizada regular plana (parâmetro arbitrário), e defina n=n(t) e k=k(t) como na Observação 1. Suponha que k(t) \neq 0, t \in I. Nestas condições, a curva
\beta(t)=\alpha(t)+\frac{1}{k(t)} n(t), \quad t \in I
é chamada evoluta de \alpha figura (1).
O traço da curva parametrizada (parâmetro arbitrário)
\alpha(t)=(t, \operatorname{cosh} t), \quad t \in \mathbb{R},
é chamado de catenária.
a) Mostre que a curvatura com sinal (t e n base positiva) da catenária é
k(t)=\frac{1}{\operatorname{cosh} ^{2} t}
b) Mostre que a evoluta da catenária é
\beta(t)=(t-\operatorname{sinh} t \operatorname{cosh} t, 2 \operatorname{cosh} t) .

Passo 1

O enunciado dá uma curva plana parametrizada por
\alpha(t)=(t,\operatorname{cosh} t),\qquad t\in\mathbb{R},
e define a evoluta por
\beta(t)=\alpha(t)+\frac{1}{k(t)}\,n(t),
onde n(t) é a normal unitária escolhida de modo que a base (t,n) seja positiva, e k(t) é a curvatura com sinal (assume-se k(t)\neq 0 para todo t). O problema pede duas coisas:
a) Mostrar que a curvatura com sinal da catenária é
k(t)=\frac{1}{\operatorname{cosh}^{2}t}.
b) Mostrar que a evoluta da catenária é
\beta(t)=\bigl(t-\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t,\;2\operatorname{cosh} t\bigr).
Dados relevantes listados:
  • \alpha(t)=(t,\operatorname{cosh} t).
  • Derivadas de \alpha estarão envolvidas (precisamos de \alpha' e \alpha'').
  • A fórmula prática para curvatura com sinal de uma curva plana parametrizada arbitrariamente que usaremos é
k(t)=\frac{\det\bigl(\alpha'(t),\alpha''(t)\bigr)}{\|\alpha'(t)\|^{3}},
onde \det((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}.

Passo 2

Vou explicar e justificar a fórmula que vou usar para a curvatura com sinal. Para uma curva plana \alpha(t)=(x(t),y(t)) com parâmetro arbitrário, definimos a velocidade \alpha'(t) e a aceleração \alpha''(t). A curvatura com sinal mede a taxa de variação da direção do vetor tangente por unidade de comprimento. Uma forma conveniente de calcular o valor assinado é
k(t)=\frac{\det\bigl(\alpha'(t),\alpha''(t)\bigr)}{\|\alpha'(t)\|^{3}}.
Explicando cada termo:
  • \alpha'(t)=(x'(t),y'(t)) é o vetor velocidade.
  • \alpha''(t)=(x''(t),y''(t)) é o vetor aceleração.
  • \det(\alpha',\alpha'')=x' y''-y' x'' dá (com sinal) a rotação instantânea entre os dois vetores.
  • \|\alpha'(t)\|=\sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}} é a velocidade escalar; elevar ao cubo normaliza corretamente para a curvatura.
    Essa fórmula é padrão e evita ter que reparametrizar por comprimento de arco.

Passo 3

Calculemos \alpha'(t) e \alpha''(t) para a catenária \alpha(t)=(t,\operatorname{cosh} t).
Derivando componente a componente:
\alpha'(t)=\bigl(1,\operatorname{sinh} t\bigr),
\alpha''(t)=\bigl(0,\operatorname{cosh} t\bigr).
Agora calculemos o determinante:
\det\bigl(\alpha'(t),\alpha''(t)\bigr)=1\cdot\operatorname{cosh} t - \operatorname{sinh} t\cdot 0=\operatorname{cosh} t.
E a norma de \alpha'(t):
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{1^{2}+\operatorname{sinh}^{2}t}=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}t}.
Usamos a identidade hiperbólica 1+\operatorname{sinh}^{2}t=\operatorname{cosh}^{2}t, portanto
\|\alpha'(t)\|=\operatorname{cosh} t.

Passo 4

Aplicando a fórmula da curvatura com sinal:
k(t)=\frac{\det\bigl(\alpha'(t),\alpha''(t)\bigr)}{\|\alpha'(t)\|^{3}}=\frac{\operatorname{cosh} t}{(\operatorname{cosh} t)^{3}}=\frac{1}{\operatorname{cosh}^{2}t}.
Observação didática: \operatorname{cosh} t>0 para todo t, então k(t) é positiva, o que faz sentido geométrico (a catenária é convexa para cima). Assim a parte (a) está demonstrada.

Passo 5

Para achar a evoluta precisamos do vetor normal unitário n(t) escolhido de modo que a base (T,n) seja positiva, onde T é o versor tangente unitário. Vou explicar como obter T e n a partir de \alpha'.
Definições:
  • Versor tangente unitário T(t)=\dfrac{\alpha'(t)}{\|\alpha'(t)\|}.
  • Um vetor normal unitário n(t) que, junto com T(t), forma base positiva é obtido girando T em +90^\circ (rotacionar no sentido anti-horário). A rotação de (T_x,T_y) por +90^\circ (-T_y,T_x). Assim
n(t)=\bigl(-T_{y}(t),\,T_{x}(t)\bigr).
Isto assegura que \det(T,n)=1, ou seja, base positiva.

Passo 6

Calculemos T(t) e n(t) para nossa curva. Já achamos \alpha'(t)=(1,\operatorname{sinh} t) e \|\alpha'(t)\|=\operatorname{cosh} t. Então
T(t)=\frac{\alpha'(t)}{\|\alpha'(t)\|}=\Bigl(\frac{1}{\operatorname{cosh} t},\,\frac{\operatorname{sinh} t}{\operatorname{cosh} t}\Bigr)=\bigl(\operatorname{sech}t,\operatorname{tanh} t\bigr).
Aplicando a rotação por +90^\circ para obter n(t):
n(t)=\bigl(-\operatorname{tanh} t,\operatorname{sech}t\bigr).
Como checar: \|n(t)\|=\sqrt{\operatorname{tanh}^{2}t+\operatorname{sech}^{2}t}=1 pela identidade \operatorname{tanh}^{2}t+\operatorname{sech}^{2}t=1.

Passo 7

A evoluta é \beta(t)=\alpha(t)+\dfrac{1}{k(t)}\,n(t). Já temos k(t)=\dfrac{1}{\operatorname{cosh}^{2}t}, portanto
\frac{1}{k(t)}=\operatorname{cosh}^{2}t.
Multiplicando por n(t):
\frac{1}{k(t)}\,n(t)=\operatorname{cosh}^{2}t\bigl(-\operatorname{tanh} t,\operatorname{sech}t\bigr).
Simplificando cada componente:
  • Primeira componente: \operatorname{cosh}^{2}t\cdot(-\operatorname{tanh} t)=-\operatorname{cosh}^{2}t\cdot\frac{\operatorname{sinh} t}{\operatorname{cosh} t}=-\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t.
  • Segunda componente: \operatorname{cosh}^{2}t\cdot\operatorname{sech}t=\operatorname{cosh}^{2}t\cdot\frac{1}{\operatorname{cosh} t}=\operatorname{cosh} t.
Agora somamos \alpha(t)=(t,\operatorname{cosh} t) com esse vetor:
\beta(t)=\bigl(t,\operatorname{cosh} t\bigr)+\bigl(-\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t,\operatorname{cosh} t\bigr)=\bigl(t-\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t,\;2\operatorname{cosh} t\bigr).

Passo 8

Comentário final e intuição: a evoluta é o lugar geométrico dos centros das circunferências osculadoras (centros de curvatura). No caso da catenária, o fator \operatorname{cosh}^{2}t (raio de curvatura) combinado com a direção normal produz a coordenada vertical dobrada 2\operatorname{cosh} t na evoluta e uma correção horizontal -\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t.

Resposta

\displaystyle k(t)=\frac{1}{\operatorname{cosh}^{2}t}
\displaystyle \beta(t)=\bigl(t-\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t,\;2\operatorname{cosh} t\bigr)

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