Seja
uma curva parametrizada regular plana (parâmetro arbitrário),
defina
e
como na Observação 1. Suponha que
. Nestas condições, a curva
é chamada evoluta de
figura (1).
O traço da curva parametrizada (parâmetro arbitrário)
é chamado de catenária.
a) Mostre que a curvatura com sinal (t e n base positiva) da catenária é
b) Mostre que a evoluta da catenária é
O traço da curva parametrizada (parâmetro arbitrário)
a) Mostre que a curvatura com sinal (t e n base positiva) da catenária é
Passo 1
O enunciado dá uma curva plana parametrizada por
e define a evoluta por
onde
é a normal unitária escolhida de modo que a base
seja positiva, e
é a curvatura com sinal (assume-se
para todo
). O problema pede duas coisas:
a) Mostrar que a curvatura com sinal da catenária é
b) Mostrar que a evoluta da catenária é
Dados relevantes listados:
-
. - Derivadas de
estarão envolvidas (precisamos de e ). - A fórmula prática para curvatura com sinal de uma curva plana parametrizada arbitrariamente que usaremos é
onde
.
Passo 2
Vou explicar e justificar a fórmula que vou usar para a curvatura com sinal. Para uma curva plana
com parâmetro arbitrário, definimos a velocidade
e a aceleração
. A curvatura com sinal mede a taxa de variação da direção do vetor tangente por unidade de comprimento. Uma forma conveniente de calcular o valor assinado é
Explicando cada termo:
-
é o vetor velocidade. -
é o vetor aceleração. -
dá (com sinal) a rotação instantânea entre os dois vetores. -
é a velocidade escalar; elevar ao cubo normaliza corretamente para a curvatura.
Essa fórmula é padrão e evita ter que reparametrizar por comprimento de arco.
Passo 3
Calculemos
e
para a catenária
.
Derivando componente a componente:
Derivando componente a componente:
Agora calculemos o determinante:
E a norma de
:
Usamos a identidade hiperbólica
, portanto
Passo 4
Aplicando a fórmula da curvatura com sinal:
Observação didática:
para todo
, então
é positiva, o que faz sentido geométrico (a catenária é convexa para cima). Assim a parte (a) está demonstrada.
Passo 5
Para achar a evoluta precisamos do vetor normal unitário
escolhido de modo que a base
seja positiva, onde
é o versor tangente unitário. Vou explicar como obter
e
a partir de
.
Definições:
- Versor tangente unitário
. - Um vetor normal unitário
que, junto com , forma base positiva é obtido girando em (rotacionar no sentido anti-horário). A rotação de por dá . Assim
Isto assegura que
, ou seja, base positiva.
Passo 6
Calculemos
e
para nossa curva. Já achamos
e
. Então
Aplicando a rotação por
para obter
:
Como checar:
pela identidade
.
Passo 7
A evoluta é
. Já temos
, portanto
Multiplicando por
:
Simplificando cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
Agora somamos
com esse vetor:
Passo 8
Comentário final e intuição: a evoluta é o lugar geométrico dos centros das circunferências osculadoras (centros de curvatura). No caso da catenária, o fator
(raio de curvatura) combinado com a direção normal produz a coordenada vertical dobrada
na evoluta e uma correção horizontal
.