Seja \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma curva parametrizada regular plana (parâmetro arbitrário), e defina n=n(t) e k=k(t) como na Observação 1. Suponha que k(t) \neq 0, t \in I. Nestas condições, a curva
\beta(t)=\alpha(t)+\frac{1}{k(t)} n(t), \quad t \in I
é chamada evoluta de \alpha figura (1).
a) Mostre que a tangente em t da evoluta de \alpha é normal a \alpha em t.
b) Considere as retas normais de \alpha em dois pontos vizinhos t_{1}, t_{2} com t_{1} \neq t_{2}. Faça t_{1} tender a t_{2} e mostre que o ponto de interseção entre as respectivas normais converge para um ponto do traço da evoluta de \alpha.

Passo 1

O enunciado dá uma curva regular plana \alpha:I\to\mathbb{R}^2 parametrizada por um parâmetro arbitrário t. Para cada t são definidos o vetor normal unitário n(t) e a curvatura k(t) (pela Observação 1) e supõe-se que k(t)\neq 0 para todo t\in I. A evoluta é a curva
\beta(t)=\alpha(t)+\frac{1}{k(t)}\,n(t),\qquad t\in I.
O que pede o exercício:
  • (a) Mostrar que a tangente da evoluta em t é ortogonal (normal) à tangente de \alpha em t.
  • (b) Tomar duas normais de \alpha em pontos próximos t_1 e t_2 ( t_1\neq t_2), considerar o ponto de interseção dessas normais e provar que, ao fazer t_1\to t_2, esse ponto de interseção converge para um ponto do traço da evoluta de \alpha.
Informações dadas relevantes: \alpha é regular (logo \alpha'(t)\neq 0), n(t) é unitário, k(t) é curvatura e k(t)\neq 0. Não há outras hipóteses faltando no enunciado.

Passo 2

Preparar as fórmulas que vamos usar (explicação didática das fórmulas de Frenet para parâmetro arbitrário).
  • Defina a velocidade (módulo da derivada) por \displaystyle v(t)=\big\|\alpha'(t)\big\|. Como \alpha é regular, v(t)>0.
  • Defina o versor tangente unitário por \displaystyle T(t)=\frac{\alpha'(t)}{v(t)}. Assim \alpha'(t)=v(t)T(t).
  • O vetor n(t) é o versor normal unitário, ortogonal a T(t), ou seja \langle T(t),n(t)\rangle=0 e \|n(t)\|=1.
  • A curvatura k(t) é definida de modo que, derivando T em relação ao comprimento de arco s, temos \dfrac{dT}{ds}=k\,n. Para parâmetro arbitrário t essa relação fica (explicando): usando d/dt=(ds/dt)\,d/ds e ds/dt=v, obtemos
T'(t)=\dfrac{dT}{dt}=v(t)\,k(t)\,n(t).
Aqui T'(t) é a derivada de T em relação a t.
  • Diferenciando a identidade \langle T,n\rangle=0 e usando T' = v k n obtemos
\langle T',n\rangle+\langle T,n'\rangle=0 \quad\Rightarrow\quad \langle v k n,n\rangle+\langle T,n'\rangle=0.
Como \langle n,n\rangle=1, \langle v k n,n\rangle= v k. Logo \langle T,n'\rangle=-v k. Mas n' é combinação linear de T e n; como \langle n',n\rangle=\tfrac12 ( \langle n,n\rangle)'\,=0, deduzimos que n' tem só componente na direção de T. Portanto
n'(t) = -v(t)\,k(t)\,T(t).
Essas duas equações (as fórmulas de Frenet para parâmetro arbitrário)
T'(t)=v(t)k(t)n(t),\qquad n'(t)=-v(t)k(t)T(t)
serão usadas diretamente.

Passo 3

Calcular \beta'(t) e mostrar que é ortogonal a \alpha'(t) (resolução do item (a)).
  • Escrevemos \beta(t)=\alpha(t)+\dfrac{1}{k(t)}\,n(t). Diferenciando em t:
\beta'(t)=\alpha'(t)+\left(\frac{1}{k(t)}\right)'\! n(t)+\frac{1}{k(t)}\,n'(t).
  • Substitua \alpha'(t)=v(t)T(t) e a fórmula de n':
\beta'(t)=v(t)T(t)+\left(\frac{1}{k}\right)'\! n(t)+\frac{1}{k}\big(-v\,k\,T(t)\big).
  • Simplifique os termos em T(t): vT-\dfrac{v k}{k}T = vT - vT =0. Logo sobra apenas o termo na direção de n(t):
\beta'(t)=\left(\frac{1}{k(t)}\right)'\! n(t).
  • Conclusão: \beta'(t) é um múltiplo escalar de n(t), ou seja \beta'(t) é paralelo a n(t). Como n(t) é ortogonal a T(t) e T(t) é paralelo a \alpha'(t), segue que \beta'(t) é ortogonal a \alpha'(t). Em fórmulas:
\langle \beta'(t),\alpha'(t)\rangle=0.
Isso prova (a): a tangente da evoluta em t é normal à curva \alpha em t.
Observação didática curta: a identidade \beta'(t)=\big(\tfrac{1}{k}\big)'\! n(t) também mostra por que precisamos de k(t)\neq0 no enunciado (para que \tfrac{1}{k} seja bem definida).

Passo 4

Preparar a estratégia para o item (b): interseção de normais e limite quando t_1\to t_2.
  • A normal de \alpha no ponto t é a reta
L(t)=\big\{\,\alpha(t)+\lambda\,n(t)\mid \lambda\in\mathbb{R}\,\big\}.
  • Para t_1\neq t_2 as duas normais L(t_1) e L(t_2) (em geral) se intersectam num ponto P(t_1,t_2) que satisfaz
\alpha(t_1)+\lambda\,n(t_1)=\alpha(t_2)+\mu\,n(t_2)
para algum \lambda,\mu\in\mathbb{R}. Vamos mostrar que, ao fazer t_1\to t_2, a coordenada \lambda associada ao ponto de interseção tende a \dfrac{1}{k(t_2)}. Assim o ponto de interseção tende a \alpha(t_2)+\dfrac{1}{k(t_2)}n(t_2)=\beta(t_2).

Passo 5

Resolver para o parâmetro \lambda do ponto de interseção e obter uma expressão conveniente.
Partimos da equação vetorial
\alpha(t_1)-\alpha(t_2)=\mu\,n(t_2)-\lambda\,n(t_1).
Tome produto escalar dessa igualdade com T(t_2). Como \langle n(t_2),T(t_2)\rangle=0, obtemos
\langle \alpha(t_1)-\alpha(t_2),\,T(t_2)\rangle = -\lambda\,\langle n(t_1),T(t_2)\rangle.
Portanto, desde que \langle n(t_1),T(t_2)\rangle\neq 0, temos
\lambda(t_1,t_2) = -\dfrac{\langle \alpha(t_1)-\alpha(t_2),\,T(t_2)\rangle}{\langle n(t_1),T(t_2)\rangle}.
Nossa tarefa é estudar o limite dessa expressão quando t_1\to t_2.

Passo 6

Fazer expansões (Taylor de primeira ordem) para numerador e denominador quando t_1\to t_2. Aqui usamos que \alpha, T e n são diferenciáveis.
  • Escreva \Delta t = t_1-t_2 pequeno. Para o numerador:
\alpha(t_1)-\alpha(t_2) = \alpha'(t_2)\,\Delta t + o(\Delta t) = v(t_2)\,T(t_2)\,\Delta t + o(\Delta t).
Pegando produto escalar com T(t_2):
\langle \alpha(t_1)-\alpha(t_2),\,T(t_2)\rangle = v(t_2)\,\Delta t + o(\Delta t).
  • Para o denominador, escrevemos n(t_1)=n(t_2)+n'(t_2)\,\Delta t + o(\Delta t). Usando n'(t_2)=-v(t_2)k(t_2)T(t_2) (do Passo 2),
\langle n(t_1),T(t_2)\rangle = \langle n(t_2),T(t_2)\rangle + \langle n'(t_2),T(t_2)\rangle\Delta t + o(\Delta t).
Mas \langle n(t_2),T(t_2)\rangle=0. E
\langle n'(t_2),T(t_2)\rangle = \langle -v(t_2)k(t_2)T(t_2),T(t_2)\rangle = -v(t_2)k(t_2).
Portanto
\langle n(t_1),T(t_2)\rangle = -v(t_2)k(t_2)\,\Delta t + o(\Delta t).

Passo 7

Agora calcular o limite da razão que define \lambda(t_1,t_2).
Substituindo as expansões do Passo 6 na expressão do Passo 5:
\lambda(t_1,t_2) = -\dfrac{v(t_2)\,\Delta t + o(\Delta t)}{-v(t_2)k(t_2)\,\Delta t + o(\Delta t)}.
Simplificando (dividindo numerador e denominador por \Delta t e fazendo \Delta t\to 0) obtemos
\lim_{t_1\to t_2}\lambda(t_1,t_2) = -\dfrac{v(t_2)}{-v(t_2)k(t_2)} = \frac{1}{k(t_2)}.
Ou seja, o parâmetro \lambda que mede a posição do ponto de interseção sobre a normal em t_1 tende a \dfrac{1}{k(t_2)}.

Passo 8

Concluir que o ponto de interseção converge para \beta(t_2).
O ponto de interseção P(t_1,t_2) pode ser escrito como
P(t_1,t_2)=\alpha(t_1)+\lambda(t_1,t_2)\,n(t_1).
Fazendo t_1\to t_2 usamos a continuidade de \alpha e n e o resultado do Passo 7:
\lim_{t_1\to t_2}P(t_1,t_2)=\alpha(t_2)+\frac{1}{k(t_2)}\,n(t_2)=\beta(t_2).
Isso mostra exatamente que, ao aproximar os dois pontos da curva, a interseção das normas converge para um ponto do traço da evoluta (o ponto correspondente a t_2).

Resposta

(a) \langle \beta'(t),\alpha'(t)\rangle=0, isto é, a tangente da evoluta em t é normal a \alpha em t.\n
(b) O ponto de interseção das normais em t_1 e t_2 converge, quando t_1\to t_2, para \beta(t_2)=\alpha(t_2)+\dfrac{1}{k(t_2)}\,n(t_2).

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