Seja
uma curva regular. Prove que
é constante se, e somente se, para cada
, o vetor
é ortogonal a
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma curva regular
. Ou seja, para todo
existe
e, por regularidade,
para todo
.
O que precisamos provar é a equivalência seguinte:
O que precisamos provar é a equivalência seguinte:
- Provar que
é constante em se, e somente se, para todo vale é ortogonal a .
Em termos matemáticos, mostrar que
Passo 2
Vamos recordar e provar uma propriedade básica que será usada várias vezes: para uma função vetorial
com derivada
existe a relação entre a derivada da norma ao quadrado e o produto escalar. Primeiro, pela definição da norma euclidiana,
Derivando em
e usando a regra do produto para o produto escalar (que pode ser verificada componente a componente), obtemos
Explicando em miúdos: se
então
e
. Esta fórmula é a ferramenta-chave.
Passo 3
Prova da implicação direta: suponha que
é constante em
. Então a função
é constante em
também, logo sua derivada é zero em todo
:
Pelo resultado do passo anterior, temos
Dividindo por
obtemos
. Como o produto escalar é zero, isso significa exatamente que
é ortogonal a
para todo
. Assim a constância da norma implica a ortogonalidade.
Passo 4
Prova da implicação recíproca: agora suponha que para todo
vale
. Então, novamente usando a fórmula do passo 2 com
, obtemos
Logo a função
tem derivada zero em todo
, o que implica que
é constante em
(teorema fundamental do cálculo: função com derivada nula em um intervalo é constante). Como a curva é regular,
em
, e portanto a raiz quadrada da constante positiva é também uma constante; isto é,
é constante em
. Assim a ortogonalidade implica a constância da norma.
Passo 5
Observação e exemplo para fixar a intuição: a curva circular parametrizada por
tem
com
constante, e
. Calcula-se
confirmando a equivalência na prática: velocidade de módulo constante ⇔ aceleração ortogonal à velocidade.