Seja \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma curva regular. Prove que \left\|\alpha^{\prime}(t)\right\| é constante se, e somente se, para cada t \in I, o vetor \alpha^{\prime \prime}(t) é ortogonal a \alpha^{\prime}(t).

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva regular \alpha: I \to \mathbb{R}^2. Ou seja, para todo t\in I existe \alpha'(t) e, por regularidade, \alpha'(t)\neq 0 para todo t\in I.
O que precisamos provar é a equivalência seguinte:
  • Provar que \|\alpha'(t)\| é constante em I se, e somente se, para todo t\in I vale \alpha''(t) é ortogonal a \alpha'(t).
Em termos matemáticos, mostrar que
\text{\(\|\alpha'(t)\|\) é constante em \(I\)} \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha''(t)\cdot\alpha'(t)=0\ \text{para todo }t\in I.é

Passo 2

Vamos recordar e provar uma propriedade básica que será usada várias vezes: para uma função vetorial v:I\to\mathbb{R}^2 com derivada v' existe a relação entre a derivada da norma ao quadrado e o produto escalar. Primeiro, pela definição da norma euclidiana,
\|v(t)\|^2 = v(t)\cdot v(t).
Derivando em t e usando a regra do produto para o produto escalar (que pode ser verificada componente a componente), obtemos
\frac{d}{dt}\big(\|v(t)\|^2\big) = \frac{d}{dt}\big(v(t)\cdot v(t)\big) = v'(t)\cdot v(t) + v(t)\cdot v'(t) = 2\,v(t)\cdot v'(t).
Explicando em miúdos: se v=(v_1,v_2) então \|v\|^2=v_1^2+v_2^2 e \frac{d}{dt}\|v\|^2=2v_1v_1'+2v_2v_2' = 2 v\cdot v'. Esta fórmula é a ferramenta-chave.

Passo 3

Prova da implicação direta: suponha que \|\alpha'(t)\| é constante em I. Então a função t\mapsto \|\alpha'(t)\|^2 é constante em I também, logo sua derivada é zero em todo t\in I:
\frac{d}{dt}\big(\|\alpha'(t)\|^2\big)=0\quad\text{para todo }t\in I.
Pelo resultado do passo anterior, temos
0=\frac{d}{dt}\big(\|\alpha'(t)\|^2\big)=2\,\alpha'(t)\cdot\alpha''(t).
Dividindo por 2 obtemos \alpha'(t)\cdot\alpha''(t)=0. Como o produto escalar é zero, isso significa exatamente que \alpha''(t) é ortogonal a \alpha'(t) para todo t\in I. Assim a constância da norma implica a ortogonalidade.

Passo 4

Prova da implicação recíproca: agora suponha que para todo t\in I vale \alpha''(t)\cdot\alpha'(t)=0. Então, novamente usando a fórmula do passo 2 com v=\alpha', obtemos
\frac{d}{dt}\big(\|\alpha'(t)\|^2\big)=2\,\alpha'(t)\cdot\alpha''(t)=0\quad\text{para todo }t\in I.
Logo a função t\mapsto \|\alpha'(t)\|^2 tem derivada zero em todo I, o que implica que \|\alpha'(t)\|^2 é constante em I (teorema fundamental do cálculo: função com derivada nula em um intervalo é constante). Como a curva é regular, \|\alpha'(t)\|>0 em I, e portanto a raiz quadrada da constante positiva é também uma constante; isto é, \|\alpha'(t)\| é constante em I. Assim a ortogonalidade implica a constância da norma.

Passo 5

Observação e exemplo para fixar a intuição: a curva circular parametrizada por \alpha(t)=(\cos t,\sin t) tem \alpha'(t)=(-\sin t,\cos t) com \|\alpha'(t)\|=1 constante, e \alpha''(t)=(-\cos t,-\sin t). Calcula-se
\alpha'(t)\cdot\alpha''(t)=(-\sin t)(-\cos t)+(\cos t)(-\sin t)=0,
confirmando a equivalência na prática: velocidade de módulo constante ⇔ aceleração ortogonal à velocidade.

Resposta

\|\alpha'(t)\| é constante em I se, e somente se, \alpha''(t)\cdot\alpha'(t)=0 para todo t\in I.

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