Encontre a reta tangente de α em α\left(t_{0}\right).
α(t)=\left(2 t, t^{2}, t^{3} / 3\right), t_{0}=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
\alpha(t)=\bigl(2t,\;t^{2},\;t^{3}/3\bigr)
e o ponto de referência t_{0}=1. A pergunta é: encontrar a reta tangente à curva em \alpha(t_{0}), ou seja, a reta que toca a curva em t=1 e tem a direção do vetor tangente naquele ponto.

Passo 2

Conceito-chave (explicado de modo bem prático): para uma curva paramétrica \alpha(t), o vetor derivada \alpha'(t) é o vetor velocidade — ele aponta na direção da tangente à curva. Portanto a reta tangente em t_{0} passa por \alpha(t_{0}) e tem direção \alpha'(t_{0}).
Fórmula geral que usaremos (apenas a forma, sem calcular ainda):
\ell(s)=\alpha(t_{0}) + s\,\alpha'(t_{0}),
onde s é o parâmetro da reta.

Passo 3

Como se calcula \alpha'(t): a derivada de uma função vetorial faz-se componente a componente. Relembre as regras básicas usadas aqui:
  • Derivada de a t em relação a t é a.
  • Regra do poder: \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}.
  • Constante multiplicativa pode sair da derivada.
Aplicando componente a componente:
\frac{d}{dt}\bigl(2t\bigr)=2, \qquad \frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=2t, \qquad \frac{d}{dt}\Bigl(\frac{t^{3}}{3}\Bigr)=\frac{1}{3}\cdot 3t^{2}=t^{2}.
Portanto
\alpha'(t)=\bigl(2,\;2t,\;t^{2}\bigr).

Passo 4

Avalio a derivada no ponto t_{0}=1:
\alpha'(1)=\bigl(2,\;2\cdot1,\;1^{2}\bigr)=\bigl(2,\;2,\;1\bigr).
Esse é o vetor direção da reta tangente em t=1.

Passo 5

Calculo a posição da curva em t_{0}=1 (o ponto de tangência):
\alpha(1)=\bigl(2\cdot1,\;1^{2},\;1^{3}/3\bigr)=\bigl(2,\;1,\;1/3\bigr).

Passo 6

Resumo prático para montar a reta: usar a fórmula da Passo 2 com os valores obtidos nos Passos 4 e 5. Em prova, pode-se apresentar a reta em forma vetorial, em forma paramétrica (equações paramétricas) ou em forma simétrica. Agora eu vou escrever a reta final nas formas usuais.

Resposta

\ell(s)=\bigl(2,\;1,\;\tfrac{1}{3}\bigr)+s\bigl(2,\;2,\;1\bigr),\\ s\in\mathbb{R}.
Equações paramétricas: \;x=2+2s,\quad y=1+2s,\quad z=\tfrac{1}{3}+s.
Forma simétrica: \displaystyle \frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-\tfrac{1}{3}}{1}.

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