Encontre a reta tangente de
em
.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica
e o ponto de referência
. A pergunta é: encontrar a reta tangente à curva em
, ou seja, a reta que toca a curva em
e tem a direção do vetor tangente naquele ponto.
Passo 2
Conceito-chave (explicado de modo bem prático): para uma curva paramétrica
, o vetor derivada
é o vetor velocidade — ele aponta na direção da tangente à curva. Portanto a reta tangente em
passa por
e tem direção
.
Fórmula geral que usaremos (apenas a forma, sem calcular ainda):
onde
é o parâmetro da reta.
Passo 3
Como se calcula
: a derivada de uma função vetorial faz-se componente a componente. Relembre as regras básicas usadas aqui:
- Derivada de
em relação a é . - Regra do poder:
. - Constante multiplicativa pode sair da derivada.
Aplicando componente a componente:
Portanto
Passo 4
Avalio a derivada no ponto
:
Esse é o vetor direção da reta tangente em
.
Passo 5
Calculo a posição da curva em
(o ponto de tangência):
Passo 6
Resumo prático para montar a reta: usar a fórmula da Passo 2 com os valores obtidos nos Passos 4 e 5. Em prova, pode-se apresentar a reta em forma vetorial, em forma paramétrica (equações paramétricas) ou em forma simétrica. Agora eu vou escrever a reta final nas formas usuais.
Resposta
Equações paramétricas:
Forma simétrica: