Seja
uma curva parametrizada por comprimento de arco e suponha que a sua curvatura
nunca se anula, de modo que o triedro de Frenet
está bem definido. Considere a curva
definida por
, onde
é uma aplicação linear ortogonal e
é um vetor fixo. Denote por
,
os objetos correspondentes a
. Mostre que:
a)
está parametrizada pelo comprimento de arco;
b)
e
para todo
;
c) Se
, então
e
para todo
, e se
, então
e
para todo
.
a)
b)
c) Se
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e do que pede.
Dados fornecidos:
-
é uma curva parametrizada por comprimento de arco, ou seja para todo . - A curvatura
nunca se anula (portanto o triedro de Frenet está bem definido). - Define-se
, onde é linear ortogonal e é constante. - Denotam-se por
, e os objetos de Frenet correspondentes à curva .
O que o enunciado pede:
(a) Mostrar que está parametrizada por comprimento de arco (ou seja
para todo
).
(b) Mostrar que, para todo ,
(a) Mostrar que
(b) Mostrar que, para todo
(c) Mostrar que, se
então
e se
então
Informações relevantes que iremos usar (dados do enunciado ou propriedades básicas de mapas ortogonais):
-
é ortogonal, logo preserva produto interno e normas:
- Derivada de uma transformação linear constante com respeito a
comuta com a transformação:
Passo 2
Provar (a): cálculo de
e norma.
Primeiro, diferenciando
em
, usando que
é linear e constante (não depende de
) e
é constante, obtemos
Isto é válido porque para uma aplicação linear constante
vale
(derivada passa pra dentro da aplicação linear).
Agora usamos que
está parametrizada por comprimento de arco, então
. Como
preserva normas, temos
Portanto
também é parametrizada por comprimento de arco.
Passo 3
Provar a primeira igualdade de (b):
.
Por definição, para uma curva parametrizada por comprimento de arco o vetor tangente unitário é
. Da mesma forma
. Já provamos que
e que
. Assim
Ou seja,
para todo
.
(Comentário didático curto: o vetor tangente unitário transforma-se pela aplicação linear ortogonal
porque
manda direções e comprimentos preservados.)
Passo 4
Provar que
.
Lembrando a definição de curvatura para parametrização por comprimento de arco:
. Como
é linear e constante, derivando
obtemos
Então a curvatura de
é
onde usamos novamente que
preserva normas. Assim
para todo
.
Passo 5
Provar que
.
A definição do vetor normal principal é
(isso é válido porque
por hipótese). Para
temos
. Usando o resultado do passo anterior,
Aqui usamos a linearidade de
para tirar o fator
e também que
. Portanto
.
Passo 6
Provar a relação entre
e
; identidade do produto vetorial usada.
O vetor binormal é
. Para
obtemos
Precisamos relacionar
com
. Para isto usamos a propriedade do produto vetorial e determinante: para todo
vale
Aplicando
(matriz ortogonal) aos vetores e usando que
, obtemos, para todo
,
Por outro lado
Comparando e usando que isso vale para todo
(e que
é invertível), concluímos a identidade vetorial
Aplicando isso a
e
obtemos
Assim:
- Se
, então . - Se
, então .
Passo 7
Provar o comportamento da torsão
(parte final (c)).
Recordando as equações de Frenet–Serret (para curva parametrizada por comprimento de arco):
Destas, uma fórmula conveniente para a torsão é
pois ao projetar
sobre
desaparece o termo em
e fica
.
Para a curva
temos análoga definição
. Já sabemos que
(derivando
e usando linearidade) e que
. Assim
Como
é ortogonal, preserva produto interno:
. Portanto
Conclui-se então:
- Se
, . - Se
, .
Resposta
(a)
está parametrizada por comprimento de arco:
para todo
.\n(b)
para todo
.\n(c) Se
então
e
para todo
. Se
então
e
para todo
.