Seja \beta: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva parametrizada por comprimento de arco e suponha que a sua curvatura \kappa nunca se anula, de modo que o triedro de Frenet \left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\} está bem definido. Considere a curva \bar{\beta}: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por \bar{\beta}=A(\beta(s))+v, onde A: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} é uma aplicação linear ortogonal e v \in \mathbb{R}^{3} é um vetor fixo. Denote por \left\{\bar{e}_{1}, \bar{e}_{2}, \bar{e}_{3}\right\}, \bar{\kappa}, \bar{\tau} os objetos correspondentes a \bar{\beta}. Mostre que:
a) \bar{\beta} está parametrizada pelo comprimento de arco;
b) \bar{e}_{1}(s)=A\left(e_{1}(s)\right), \bar{\kappa}(s)=\kappa(s) e \bar{e}_{2}(s)=A\left(e_{2}(s)\right) para todo s \in I;
c) Se \operatorname{det} A=1, então \bar{e}_{3}(s)=A\left(e_{3}(s)\right) e \bar{\tau}(s)=\tau(s) para todo s \in I, e se \operatorname{det} A=-1, então \bar{e}_{3}(s)=-A\left(e_{3}(s)\right) e \bar{\tau}(s)=-\tau(s) para todo s \in I.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que pede.
Dados fornecidos:
  • \beta:I\to\mathbb{R}^3 é uma curva parametrizada por comprimento de arco, ou seja \|\beta'(s)\|=1 para todo s\in I.
  • A curvatura \kappa(s) nunca se anula (portanto o triedro de Frenet \{e_1,e_2,e_3\} está bem definido).
  • Define-se \bar{\beta}(s)=A(\beta(s))+v, onde A:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é linear ortogonal e v\in\mathbb{R}^3 é constante.
  • Denotam-se por \{\bar{e}_1,\bar{e}_2,\bar{e}_3\}, \bar{\kappa} e \bar{\tau} os objetos de Frenet correspondentes à curva \bar{\beta}.
O que o enunciado pede:
(a) Mostrar que \bar{\beta} está parametrizada por comprimento de arco (ou seja \|\bar{\beta}'(s)\|=1 para todo s).
(b) Mostrar que, para todo s\in I,
\bar{e}_1(s)=A(e_1(s)),\qquad \bar{\kappa}(s)=\kappa(s),\qquad \bar{e}_2(s)=A(e_2(s)).
(c) Mostrar que, se \det A=1 então
\bar{e}_3(s)=A(e_3(s)),\qquad \bar{\tau}(s)=\tau(s),
e se \det A=-1 então
\bar{e}_3(s)=-A(e_3(s)),\qquad \bar{\tau}(s)=-\tau(s).
Informações relevantes que iremos usar (dados do enunciado ou propriedades básicas de mapas ortogonais):
  • A é ortogonal, logo preserva produto interno e normas:
\langle A u, A v\rangle=\langle u,v\rangle\quad\text{e}\quad\|A u\|=\|u\|\quad\text{para todo }u,v\in\mathbb{R}^3.
  • Derivada de uma transformação linear constante com respeito a s comuta com a transformação:
\frac{d}{ds}A(\beta(s))=A(\beta'(s)).

Passo 2

Provar (a): cálculo de \bar{\beta}'(s) e norma.
Primeiro, diferenciando \bar{\beta}(s)=A(\beta(s))+v em s, usando que A é linear e constante (não depende de s) e v é constante, obtemos
\bar{\beta}'(s)=\frac{d}{ds}A(\beta(s))+\frac{d}{ds}v = A(\beta'(s))+0 = A(\beta'(s)).
Isto é válido porque para uma aplicação linear constante A vale \tfrac{d}{ds}A(\beta(s))=A(\beta'(s)) (derivada passa pra dentro da aplicação linear).
Agora usamos que \beta está parametrizada por comprimento de arco, então \|\beta'(s)\|=1. Como A preserva normas, temos
\|\bar{\beta}'(s)\|=\|A(\beta'(s))\|=\|\beta'(s)\|=1.
Portanto \bar{\beta} também é parametrizada por comprimento de arco.

Passo 3

Provar a primeira igualdade de (b): \bar{e}_1(s)=A(e_1(s)).
Por definição, para uma curva parametrizada por comprimento de arco o vetor tangente unitário é e_1(s)=\beta'(s). Da mesma forma \bar{e}_1(s)=\bar{\beta}'(s). Já provamos que \bar{\beta}'(s)=A(\beta'(s)) e que \|\bar{\beta}'(s)\|=1. Assim
\bar{e}_1(s)=\bar{\beta}'(s)=A(\beta'(s))=A(e_1(s)).
Ou seja, \bar{e}_1(s)=A(e_1(s)) para todo s.
(Comentário didático curto: o vetor tangente unitário transforma-se pela aplicação linear ortogonal A porque A manda direções e comprimentos preservados.)

Passo 4

Provar que \bar{\kappa}(s)=\kappa(s).
Lembrando a definição de curvatura para parametrização por comprimento de arco: \kappa(s)=\|e_1'(s)\|. Como A é linear e constante, derivando \bar{e}_1(s)=A(e_1(s)) obtemos
\bar{e}_1'(s)=A(e_1'(s)).
Então a curvatura de \bar{\beta} é
\bar{\kappa}(s)=\|\bar{e}_1'(s)\|=\|A(e_1'(s))\|=\|e_1'(s)\|=\kappa(s),
onde usamos novamente que A preserva normas. Assim \bar{\kappa}(s)=\kappa(s) para todo s.

Passo 5

Provar que \bar{e}_2(s)=A(e_2(s)).
A definição do vetor normal principal é e_2(s)=\dfrac{e_1'(s)}{\kappa(s)} (isso é válido porque \kappa(s)>0 por hipótese). Para \bar{\beta} temos \bar{e}_2(s)=\dfrac{\bar{e}_1'(s)}{\bar{\kappa}(s)}. Usando o resultado do passo anterior,
\bar{e}_2(s)=\frac{\bar{e}_1'(s)}{\bar{\kappa}(s)}=\frac{A(e_1'(s))}{\kappa(s)}=A\!\left(\frac{e_1'(s)}{\kappa(s)}\right)=A(e_2(s)).
Aqui usamos a linearidade de A para tirar o fator 1/\kappa(s) e também que \bar{\kappa}=\kappa. Portanto \bar{e}_2(s)=A(e_2(s)).

Passo 6

Provar a relação entre \bar{e}_3 e A(e_3); identidade do produto vetorial usada.
O vetor binormal é e_3(s)=e_1(s)\times e_2(s). Para \bar{\beta} obtemos
\bar{e}_3(s)=\bar{e}_1(s)\times\bar{e}_2(s)=A(e_1(s))\times A(e_2(s)).
Precisamos relacionar A(e_1)\times A(e_2) com A(e_1\times e_2). Para isto usamos a propriedade do produto vetorial e determinante: para todo u,v,w\in\mathbb{R}^3 vale
(u\times v)\cdot w=\det(u,v,w).
Aplicando A (matriz ortogonal) aos vetores e usando que \det(Au,Av,Aw)=\det(A)\det(u,v,w), obtemos, para todo w,
\big(A(u)\times A(v)\big)\cdot A(w)=\det(Au,Av,Aw)=\det(A)\det(u,v,w)=\det(A)\big(u\times v\big)\cdot w.
Por outro lado
A\big(u\times v\big)\cdot A(w)=\big(u\times v\big)\cdot w.
Comparando e usando que isso vale para todo w (e que A é invertível), concluímos a identidade vetorial
A(u)\times A(v)=\det(A)\,A(u\times v).
Aplicando isso a u=e_1(s) e v=e_2(s) obtemos
\bar{e}_3(s)=A(e_1(s))\times A(e_2(s))=\det(A)\,A\big(e_1(s)\times e_2(s)\big)=\det(A)\,A(e_3(s)).
Assim:
  • Se \det A=1, então \bar{e}_3(s)=A(e_3(s)).
  • Se \det A=-1, então \bar{e}_3(s)=-A(e_3(s)).

Passo 7

Provar o comportamento da torsão \bar{\tau} (parte final (c)).
Recordando as equações de Frenet–Serret (para curva parametrizada por comprimento de arco):
e_1'=\kappa e_2,\qquad e_2'=-\kappa e_1+\tau e_3,\qquad e_3'=-\tau e_2.
Destas, uma fórmula conveniente para a torsão é
\tau(s)=\langle e_2'(s),\,e_3(s)\rangle,
pois ao projetar e_2'=-\kappa e_1+\tau e_3 sobre e_3 desaparece o termo em e_1 e fica \tau.
Para a curva \bar{\beta} temos análoga definição \bar{\tau}(s)=\langle \bar{e}_2'(s),\,\bar{e}_3(s)\rangle. Já sabemos que \bar{e}_2'(s)=A(e_2'(s)) (derivando \bar{e}_2=A(e_2) e usando linearidade) e que \bar{e}_3(s)=\det(A)\,A(e_3(s)). Assim
\bar{\tau}(s)=\langle A(e_2'(s)),\,\det(A)\,A(e_3(s))\rangle=\det(A)\,\langle A(e_2'(s)),A(e_3(s))\rangle.
Como A é ortogonal, preserva produto interno: \langle A(u),A(v)\rangle=\langle u,v\rangle. Portanto
\bar{\tau}(s)=\det(A)\,\langle e_2'(s),e_3(s)\rangle=\det(A)\,\tau(s).
Conclui-se então:
  • Se \det A=1, \bar{\tau}(s)=\tau(s).
  • Se \det A=-1, \bar{\tau}(s)=-\tau(s).

Resposta

(a) \bar{\beta} está parametrizada por comprimento de arco: \|\bar{\beta}'(s)\|=1 para todo s\in I.\n(b) \bar{e}_1(s)=A(e_1(s)),\\ \bar{\kappa}(s)=\kappa(s),\\ \bar{e}_2(s)=A(e_2(s)) para todo s\in I.\n(c) Se \det A=1 então \bar{e}_3(s)=A(e_3(s)) e \bar{\tau}(s)=\tau(s) para todo s\in I. Se \det A=-1 então \bar{e}_3(s)=-A(e_3(s)) e \bar{\tau}(s)=-\tau(s) para todo s\in I.

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