Obtenha uma parametrização da curva obtida pela interseção do cilindro
com a esfera
, chamada Curva de Viviani.
Passo 1
O enunciado dá duas superfícies e pede uma parametrização da curva de interseção (Curva de Viviani). Informações fornecidas:
- Cilindro:
. - Esfera:
.
O que se pede: uma parametrizaçãoque descreva todos os pontos que pertencem simultaneamente ao cilindro e à esfera.
Passo 2
Primeiro vamos parametrizar a projeção da curva no plano
, isto é, a circunferência dada pelo cilindro. A equação
é um círculo de centro
e raio
. Uma parametrização padrão desse círculo é
onde
é o parâmetro angular medido a partir da direção positiva em relação ao centro
. Verificação rápida (só para confirmar que isso realmente satisfaz o cilindro):
Passo 3
Agora imponho que
também satisfaça a equação da esfera. Substituo
e
na esfera para encontrar
.
Calculo com a parametrização escolhida:
Calculo
Como
, isso dá
Usando a identidade de meia-ângulo
, obtemos a forma útil
Passo 4
Da equação da esfera segue
Logo
Portanto, para cada
temos duas alturas possíveis (acima e abaixo do plano
). Uma escolha prática e muito usada para parametrizar a Curva de Viviani é tomar
Com essa escolha, se deixarmos
variar em
obtemos toda a curva de interseção (a razão:
têm período
, então variando
em
percorre-se a “volta superior” e em
percorre-se a “volta inferior”, juntando ambas e cobrindo a curva com o ponto de auto-interseção em
). Alternativamente, para obter apenas a “folha superior” pode-se usar
; para a folha inferior usar o sinal negativo.
Passo 5
Escrevendo a parametrização vetorial final e verificando enxuta:
Verificação rápida (substituição direta):
logo a curva está sobre o cilindro e sobre a esfera, como desejado.