Obtenha uma parametrização da curva obtida pela interseção do cilindro (x-a)^{2}+y^{2}= a^{2} com a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 a^{2}, chamada Curva de Viviani.

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies e pede uma parametrização da curva de interseção (Curva de Viviani). Informações fornecidas:
  • Cilindro: (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}.
  • Esfera: x^{2}+y^{2}+z^{2}=4a^{2}.
    O que se pede: uma parametrização \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) que descreva todos os pontos que pertencem simultaneamente ao cilindro e à esfera.

Passo 2

Primeiro vamos parametrizar a projeção da curva no plano xy, isto é, a circunferência dada pelo cilindro. A equação (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2} é um círculo de centro (a,0) e raio a. Uma parametrização padrão desse círculo é
x=a+a\cos t,\qquad y=a\sin t,
onde t é o parâmetro angular medido a partir da direção positiva em relação ao centro (a,0). Verificação rápida (só para confirmar que isso realmente satisfaz o cilindro):
(x-a)^{2}+y^{2}=(a\cos t)^{2}+(a\sin t)^{2}=a^{2}(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=a^{2}.

Passo 3

Agora imponho que (x(t),y(t),z(t)) também satisfaça a equação da esfera. Substituo x e y na esfera para encontrar z.
Calculo x^{2}+y^{2} com a parametrização escolhida:
x^{2}+y^{2}=a^{2}(1+\cos t)^{2}+a^{2}\sin^{2}t = a^{2}\bigl(1+2\cos t+\cos^{2}t+\sin^{2}t\bigr).
Como \cos^{2}t+\sin^{2}t=1, isso dá
x^{2}+y^{2}=a^{2}\bigl(2+2\cos t\bigr)=2a^{2}(1+\cos t).
Usando a identidade de meia-ângulo 1+\cos t = 2\cos^{2}\tfrac{t}{2}, obtemos a forma útil
x^{2}+y^{2}=4a^{2}\cos^{2}\!\tfrac{t}{2}.

Passo 4

Da equação da esfera segue
z^{2}=4a^{2}-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=4a^{2}-4a^{2}\cos^{2}\!\tfrac{t}{2} =4a^{2}\sin^{2}\!\tfrac{t}{2}.
Logo
z=\pm 2a\sin\!\tfrac{t}{2}.
Portanto, para cada t temos duas alturas possíveis (acima e abaixo do plano xy). Uma escolha prática e muito usada para parametrizar a Curva de Viviani é tomar
z(t)=2a\sin\!\tfrac{t}{2}.
Com essa escolha, se deixarmos t variar em [0,4\pi] obtemos toda a curva de interseção (a razão: x(t),y(t) têm período 2\pi, então variando t em 0\to2\pi percorre-se a “volta superior” e em 2\pi\to4\pi percorre-se a “volta inferior”, juntando ambas e cobrindo a curva com o ponto de auto-interseção em t=0,2\pi,4\pi). Alternativamente, para obter apenas a “folha superior” pode-se usar t\in[0,2\pi]; para a folha inferior usar o sinal negativo.

Passo 5

Escrevendo a parametrização vetorial final e verificando enxuta:
\mathbf{r}(t)=\bigl(a(1+\cos t),\; a\sin t,\; 2a\sin\tfrac{t}{2}\bigr).
Verificação rápida (substituição direta):
(x-a)^{2}+y^{2}=(a\cos t)^{2}+(a\sin t)^{2}=a^{2},
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4a^{2}\cos^{2}\!\tfrac{t}{2}+4a^{2}\sin^{2}\!\tfrac{t}{2}=4a^{2},
logo a curva está sobre o cilindro e sobre a esfera, como desejado.

Resposta

\displaystyle \mathbf{r}(t)=\bigl(a(1+\cos t),\; a\sin t,\; 2a\sin\tfrac{t}{2}\bigr),\qquad 0\le t\le 4\pi

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