Seja alpha>0. Prove que todo número x pode ser escrito unicamente na forma x=k alpha+x^prime, onde k é um inteiro, e 0 <= x^prime.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um real x e um parâmetro positivo alpha>0, existe um único inteiro k e um único real x' tal que
x = k,\alpha + x’\quadcom\quad 0 \le x’ < \alpha.
O tema aqui é a divisão euclidiana no contexto dos reais, usando a função piso (floor).

Passo 2

Para provar a existência, considere o quociente
q = xalpha
Defina k = lfloor q rfloor, que é o maior inteiro menor ou igual a q. Por definição de piso temos
k <= q < k+1
Multiplicando todos os termos por alpha>0, obtemos
k,alpha <= x < (k+1),alpha
Agora defina o resto
x' = x - k,alpha
Então
0 <= x' < alpha
e claramente
x = k,alpha + x'
Isso mostra que a forma existe.

Passo 3

Para provar a unicidade, suponha que haja duas decomposições
x = k,alpha + x' = tilde k,alpha + tilde x',
com 0 <= x',,tilde x' < alpha e k,,tilde kin Z. Subtraindo as duas expressões:
(k - tilde k),alpha = tilde x' - x'
Tomando valor absoluto, fica
|k - tilde k|,alpha = |tilde x' - x'| < alpha
Como |k - tilde k| é inteiro não negativo, a única forma de |k-tilde k|,alpha < alpha é ter |k - tilde k| = 0. Logo k = tilde k e, consequentemente, x' = tilde x'. Isso garante unicidade.

Resposta

Para todo real x e alpha>0, a única forma de escrever
x = k,alpha + x'com 0 <= x' < alpha
é tomando
k = lfloorxalpharfloore x' = x - k,alpha

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