Seja
. Prove que todo número
pode ser escrito unicamente na forma
, onde
é um inteiro, e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um real x e um parâmetro positivo
, existe um único inteiro
e um único real
tal que
x = k,\alpha + x’\quadcom\quad 0 \le x’ < \alpha.
O tema aqui é a divisão euclidiana no contexto dos reais, usando a função piso (floor).
Passo 2
Para provar a existência, considere o quociente
Defina
, que é o maior inteiro menor ou igual a
. Por definição de piso temos
Multiplicando todos os termos por
, obtemos
Agora defina o resto
Então
e claramente
Isso mostra que a forma existe.
Passo 3
Para provar a unicidade, suponha que haja duas decomposições
com
e
. Subtraindo as duas expressões:
Tomando valor absoluto, fica
Como
é inteiro não negativo, a única forma de
é ter
. Logo
e, consequentemente,
. Isso garante unicidade.
Resposta
Para todo real
e
, a única forma de escrever
é tomando