Um conjunto
de números reais é dito ser denso se todo intervalo aberto contém um ponto de
. Por exemplo, o Problema 5 mostra que o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais são ambos densos.
(a) Prove que se
é contínua e
para todos os números
em um conjunto denso
, então
para todo
.
(b) Prove que se
e
são contínuas e
para todo
em um conjunto denso
, então
para todo
.
© Se assumirmos, em vez disso, que
para todo
em
, mostre que
para todo
. O sinal
pode ser substituído por
em todos os lugares?
(a) Prove que se
(b) Prove que se
© Se assumirmos, em vez disso, que
Passo 1
Estamos lidando com o conceito de conjunto denso e continuidade de funções. Um conjunto A é denso se todo intervalo aberto em ℝ contém pontos de A. Precisamos usar essa densidade e a continuidade de f (ou de f–g) para estender igualdades ou desigualdades conhecidas em A para todo ℝ.
Passo 2
Para (a), fixamos um x∈ℝ qualquer. Como A é denso, existe uma sequência (aₙ)⊂A tal que aₙ→x. Pela continuidade de f, temos
$$
f(x)=\lim_{n\to\infty}f(a_n).$$
Mas f(aₙ)=0 para todo n, logo f(x)=0. Como x era arbitrário, concluímos f(x)=0 em todo ℝ.
Mas f(aₙ)=0 para todo n, logo f(x)=0. Como x era arbitrário, concluímos f(x)=0 em todo ℝ.
Passo 3
Em (b), definimos h(x)=f(x)–g(x). Então h é contínua e h(x)=0 para todo x∈A. Aplicando o resultado de (a) a h, obtemos h(x)=0 para todo x, isto é, f(x)=g(x) em todo ℝ.
Passo 4
Em ©, considere h(x)=f(x)–g(x) de novo. Sabemos h(x)≥0 em A. Tomando x∈ℝ qualquer e uma sequência (aₙ)⊂A com aₙ→x, pela continuidade vem
Assim f(x)–g(x)≥0, ou seja, f(x)≥g(x) em todo ℝ.
Passo 5
Quanto a usar “>” em vez de “≥”, o argumento de limite garante apenas h(x)≥0, não h(x)>0. Por exemplo, em ℝ tome A = irracionais (que é denso), f(x)=x² e g(x)=0. Então f(x)>g(x) em A, mas em x=0 temos f(0)=g(0). Logo não dá para estender “>” para todo ℝ.
Resposta
(a) f(x)=0 para todo x∈ℝ.
(b) f(x)=g(x) para todo x∈ℝ.
© f(x)≥g(x) para todo x∈ℝ; não se pode trocar por “>” em geral.
(b) f(x)=g(x) para todo x∈ℝ.
© f(x)≥g(x) para todo x∈ℝ; não se pode trocar por “>” em geral.