Um conjunto A de números reais é dito ser denso se todo intervalo aberto contém um ponto de A. Por exemplo, o Problema 5 mostra que o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais são ambos densos.
(a) Prove que se f é contínua e f(x)=0 para todos os números x em um conjunto denso A, então f(x)=0 para todo x.
(b) Prove que se f e g são contínuas e f(x)=g(x) para todo x em um conjunto denso A, então f(x)=g(x) para todo x.
© Se assumirmos, em vez disso, que f(x) >= g(x) para todo x em A, mostre que f(x) >= g(x) para todo x. O sinal >= pode ser substituído por > em todos os lugares?

Passo 1

Estamos lidando com o conceito de conjunto denso e continuidade de funções. Um conjunto A é denso se todo intervalo aberto em ℝ contém pontos de A. Precisamos usar essa densidade e a continuidade de f (ou de f–g) para estender igualdades ou desigualdades conhecidas em A para todo ℝ.

Passo 2

Para (a), fixamos um x∈ℝ qualquer. Como A é denso, existe uma sequência (aₙ)⊂A tal que aₙ→x. Pela continuidade de f, temos
$$
f(x)=\lim_{n\to\infty}f(a_n).$$
Mas f(aₙ)=0 para todo n, logo f(x)=0. Como x era arbitrário, concluímos f(x)=0 em todo ℝ.

Passo 3

Em (b), definimos h(x)=f(x)–g(x). Então h é contínua e h(x)=0 para todo x∈A. Aplicando o resultado de (a) a h, obtemos h(x)=0 para todo x, isto é, f(x)=g(x) em todo ℝ.

Passo 4

Em ©, considere h(x)=f(x)–g(x) de novo. Sabemos h(x)≥0 em A. Tomando x∈ℝ qualquer e uma sequência (aₙ)⊂A com aₙ→x, pela continuidade vem
h(x)=limntoinftyh(an)>=0
Assim f(x)–g(x)≥0, ou seja, f(x)≥g(x) em todo ℝ.

Passo 5

Quanto a usar “>” em vez de “≥”, o argumento de limite garante apenas h(x)≥0, não h(x)>0. Por exemplo, em ℝ tome A = irracionais (que é denso), f(x)=x² e g(x)=0. Então f(x)>g(x) em A, mas em x=0 temos f(0)=g(0). Logo não dá para estender “>” para todo ℝ.

Resposta

(a) f(x)=0 para todo x∈ℝ.
(b) f(x)=g(x) para todo x∈ℝ.
© f(x)≥g(x) para todo x∈ℝ; não se pode trocar por “>” em geral.

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