Resolva as EDOs:
2 x+y^{2}+2 x y y^{\prime}=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
2x + y^2 + 2x\,y\,y' = 0.
Trata-se de uma equação de primeira ordem que pode ser vista como exata. Para isso, vamos escrever na forma
M(x,y) + N(x,y)\,y' = 0
e verificar a condição de exatidão.

Passo 2

Comparando, temos
M(x,y) = 2x + y^2, \qquad N(x,y) = 2x\,y.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = 2y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 2y.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial \varphi(x,y) tal que \phi_x = M e \phi_y = N.
Integrando M em relação a x, obtemos
\varphi(x,y) = \int (2x + y^2)\,dx = x^2 + x\,y^2 + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Impondo \phi_y = N, temos
\phi_y = 2x\,y + h'(y) \stackrel!= 2x\,y,
logo h'(y)=0 e h é constante. Assim
\varphi(x,y) = x^2 + x\,y^2 = C.

Resposta

x^2 + x\,y^2 = C,
sendo C constante arbitrária.

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