Seja
a curva definida por
Mostre que
é de classe
, mas não é de classe
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma curva
que depende de
e é definida de duas maneiras diferentes: uma para
e outra para
. O objetivo é mostrar que essa curva é de classe
(ou seja, tem derivadas contínuas de primeira ordem), mas não é de classe
(não tem derivadas contínuas de segunda ordem). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma curva ser de classe
. Uma função é de classe
se ela é diferenciável e suas derivadas são contínuas. No caso da curva
, que mapeia números reais para o plano
, precisamos verificar se cada uma das componentes da curva satisfaz esses critérios.
Passo 3
Vamos analisar as duas partes da definição da curva
:
Para
:
Isso significa que as componentes são:
Para
:
Aqui, as componentes são:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas das componentes em cada intervalo de
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Precisamos verificar a continuidade das derivadas no ponto onde a definição da curva muda, ou seja, em
.
Para
:
Como os limites são iguais,
é contínida em
.
Para
:
Aqui também, os limites coincidem, então
é contínida em
.
Como ambas as derivadas são contínuas em
, a curva
é de classe
.
Passo 6
Agora, vamos verificar se
é de classe
. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas das componentes e verificar se elas são contínuas.
Para
:
Para
:
Passo 7
Vamos analisar a continuidade das segundas derivadas em
.
Para
:
Os limites da segunda derivada de
não coincidem quando
, ou seja, há uma descontinuidade em
. Isso significa que
não é contínida em
.
Como a segunda derivada não é contínua, a curva
não é de classe
.
Resposta
A curva
é de classe
, mas não é de classe
.