Seja alpha: Re Re^2 a curva definida por
ll (t^2, t^2), & t >= 0 (t^2,-t^2), & t<0
Mostre que alpha é de classe C^l, mas não é de classe C^2.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma curva alpha que depende de t e é definida de duas maneiras diferentes: uma para t >= 0 e outra para t < 0. O objetivo é mostrar que essa curva é de classe C^1 (ou seja, tem derivadas contínuas de primeira ordem), mas não é de classe C^2 (não tem derivadas contínuas de segunda ordem). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma curva ser de classe C^1. Uma função é de classe C^1 se ela é diferenciável e suas derivadas são contínuas. No caso da curva alpha(t), que mapeia números reais para o plano R^2, precisamos verificar se cada uma das componentes da curva satisfaz esses critérios.

Passo 3

Vamos analisar as duas partes da definição da curva alpha(t):
Para t >= 0:
alpha(t) = (t^2, t^2)
Isso significa que as componentes são:
x(t) = t^2 e y(t) = t^2
Para t < 0:
alpha(t) = (t^2, -t^2)
Aqui, as componentes são:
x(t) = t^2 e y(t) = -t^2

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas das componentes em cada intervalo de t.
Para t > 0:
x'(t) = 2t e y'(t) = 2t
Para t < 0:
x'(t) = 2t e y'(t) = -2t

Passo 5

Precisamos verificar a continuidade das derivadas no ponto onde a definição da curva muda, ou seja, em t = 0.
Para x'(t):
limt to 0^+ x'(t) = limt to 0^+ 2t = 0 limt to 0^- x'(t) = limt to 0^- 2t = 0
Como os limites são iguais, x'(t) é contínida em t = 0.
Para y'(t):
limt to 0^+ y'(t) = limt to 0^+ 2t = 0 limt to 0^- y'(t) = limt to 0^- -2t = 0
Aqui também, os limites coincidem, então y'(t) é contínida em t = 0.
Como ambas as derivadas são contínuas em t = 0, a curva alpha(t) é de classe C^1.

Passo 6

Agora, vamos verificar se alpha(t) é de classe C^2. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas das componentes e verificar se elas são contínuas.
Para t > 0:
x''(t) = 2 e y''(t) = 2
Para t < 0:
x''(t) = 2 e y''(t) = -2

Passo 7

Vamos analisar a continuidade das segundas derivadas em t = 0.
Para y''(t):
limt to 0^+ y''(t) = 2 limt to 0^- y''(t) = -2
Os limites da segunda derivada de y(t) não coincidem quando t to 0, ou seja, há uma descontinuidade em t = 0. Isso significa que y''(t) não é contínida em t = 0.
Como a segunda derivada não é contínua, a curva alpha(t) não é de classe C^2.

Resposta

A curva alpha é de classe C^1, mas não é de classe C^2.

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