Calcule a área do elipsóide S\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\right\}, onde a, b, c são números reais positivos.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície do elipsóide
S=\Bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\;\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\Bigr\},
onde a,b,c>0.
Matéria envolvida: cálculo de superfície parametrizada e integrais elípticas.
Vamos parametrizar a superfície, calcular o elemento de área via produto vetorial e, ao integrar, reconhecer integrais elípticas incompletas de primeira e segunda ordem.

Passo 2

Parametrizamos por coordenadas esféricas adaptadas:
\begin{cases} x = a\sin\theta\cos\varphi,\\\ y = b\sin\theta\sin\varphi,\\\ z = c\cos\theta, \end{cases} \quad 0\le\theta\le\pi,\;0\le\varphi\le2\pi.
Os vetores parciais são
r_\theta = (\,a\cos\theta\cos\varphi,\;b\cos\theta\sin\varphi,\;-c\sin\theta\,),
r_\varphi = (\,-a\sin\theta\sin\varphi,\;b\sin\theta\cos\varphi,\;0\,).

Passo 3

O módulo do produto vetorial dá o elemento de área:
\bigl\lvert r_\theta\times r_\varphi\bigr\rvert =\sin\theta\, \sqrt{ a^2b^2\cos^2\theta \;+\; c^2\bigl(a^2\sin^2\theta\cos^2\varphi + b^2\sin^2\theta\sin^2\varphi\bigr) }.

Passo 4

A área total é
S=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi} \bigl\lvert r_\theta\times r_\varphi\bigr\rvert \,d\theta\,d\varphi.

Passo 5

Suponha, sem perda de generalidade, a\ge b\ge c. Para \theta fixo defina
M=c^2\sin^2\theta + a^2\cos^2\theta,\quad N=c^2\sin^2\theta + b^2\cos^2\theta.
Então a integral em \varphi é do tipo
\int_{0}^{2\pi}\sqrt{M\sin^2\varphi+N\cos^2\varphi}\,d\varphi =4\sqrt{M}\;E\!\bigl(k(\theta)\bigr),
onde
k(\theta)^2=\frac{M-N}{M} =\frac{(a^2-b^2)\cos^2\theta}{c^2\sin^2\theta + a^2\cos^2\theta},
e
E(k)=\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-k^2\sin^2t}\,dt
é o integral elíptico completo de segunda espécie.

Passo 6

Substituindo na expressão de S e usando simetria em \theta, obtém-se
S =4ab\int_{0}^{\pi}\sin\theta\, \sqrt{c^2\sin^2\theta + a^2\cos^2\theta}\; E\!\bigl(k(\theta)\bigr)\,d\theta =8ab\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\, \sqrt{c^2\sin^2\theta + a^2\cos^2\theta}\; E\!\bigl(k(\theta)\bigr)\,d\theta.

Passo 7

Faz-se então a mudança de variável adequada para expressar essa integral em termos dos integrais elípticos incompletos de primeira e segunda espécie. Defina
\varphi_0 = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{c}{a}\Bigr), \quad k_1^2 = \frac{a^2(b^2 - c^2)}{b^2(a^2 - c^2)}.
Os integrais elípticos incompletos são
F(\varphi,k) =\int_{0}^{\varphi}\frac{dt}{\sqrt{1-k^2\sin^2t}}, \quad E(\varphi,k) =\int_{0}^{\varphi}\sqrt{1-k^2\sin^2t}\,dt.

Passo 8

Após essa mudança, chega-se à fórmula fechada em termos de F e E:
S =2\pi c^2 \;+\; \frac{2\pi\,a\,b}{\sin\varphi_0} \Bigl( E(\varphi_0,k_1)\,\sin^2\varphi_0 \;+\; F(\varphi_0,k_1)\,\cos^2\varphi_0 \Bigr).

Resposta

\boxed{ S =2\pi c^2 \;+\; \frac{2\pi\,a\,b}{\sin\!\bigl(\operatorname{arccos}\frac{c}{a}\bigr)} \Bigl[ E\!\Bigl(\operatorname{arccos}\frac{c}{a},\,k_1\Bigr)\,\sin^2\!\Bigl(\operatorname{arccos}\frac{c}{a}\Bigr) + F\!\Bigl(\operatorname{arccos}\frac{c}{a},\,k_1\Bigr)\,\cos^2\!\Bigl(\operatorname{arccos}\frac{c}{a}\Bigr) \Bigr] }
com \displaystyle k_1^2=\frac{a^2(b^2-c^2)}{b^2(a^2-c^2)},
e F, E os integrais elípticos incompletos de primeira e segunda espécie.

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