Calcule a área do elipsóide S\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\right\}, onde a, b, c são números reais positivos.
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície do elipsóide
onde a,b,c>0.
Matéria envolvida: cálculo de superfície parametrizada e integrais elípticas.
Vamos parametrizar a superfície, calcular o elemento de área via produto vetorial e, ao integrar, reconhecer integrais elípticas incompletas de primeira e segunda ordem.
Passo 2
Parametrizamos por coordenadas esféricas adaptadas:
\begin{cases} x = a\sin\theta\cos\varphi,\\\ y = b\sin\theta\sin\varphi,\\\ z = c\cos\theta, \end{cases} \quad 0\le\theta\le\pi,\;0\le\varphi\le2\pi.
Faz-se então a mudança de variável adequada para expressar essa integral em termos dos integrais elípticos incompletos de primeira e segunda espécie. Defina