Seja \alpha:(-a, a) \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma curva p.p.c.a. Definimos \beta:(-a, a) \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \beta(s)=\alpha(-s), \forall s \in(-a, a). Prove que \beta está p.p.c.a. e que k_{\beta}(s)=-k_{\alpha}(-s), \forall s \in(-a, a). Calcule os elementos de Frenet de \beta em termos dos de \alpha.

Passo 1

O enunciado dá uma curva \alpha:(-a,a)\to\mathbb{R}^2 que é p.p.c.a. (ou seja, parametrizada por comprimento de arco; isto implica \|\alpha'(s)\|=1 para todo s\in(-a,a)). Define-se \beta:(-a,a)\to\mathbb{R}^2 por
\beta(s)=\alpha(-s),\qquad \forall s\in(-a,a).
O que se pede:
  • Mostrar que \beta também é p.p.c.a. (ou seja, provar que \|\beta'(s)\|=1 para todo s).
  • Mostrar que
k_{\beta}(s)=-k_{\alpha}(-s),\qquad \forall s\in(-a,a),
onde k é a curvatura (assumir a convenção de Frenet em que, para uma curva p.p.c.a., vale \,T'(s)=k(s)N(s)\, e N'(s)=-k(s)T(s)).
  • Escrever os elementos de Frenet de \beta em termos dos elementos de Frenet de \alpha (isto é, T_\beta,N_\beta,k_\beta em função de T_\alpha,N_\alpha,k_\alpha).

Passo 2

Mostrar que \beta é diferenciável e calcular \beta'(s). Usarei a regra da cadeia: se g(s)=\alpha(h(s)) com h(s)=-s, então g'(s)=\alpha'(h(s))\cdot h'(s). Aqui h'(s)=-1. Logo
\beta'(s)=\frac{d}{ds}\alpha(-s)=\alpha'(-s)\cdot(-1)=-\alpha'(-s).
Explicando devagar: \alpha'(-s) é o vetor tangente de \alpha avaliado em -s; multiplicamos por -1 porque ao derivar o argumento -s aparece o fator -1.

Passo 3

Mostrar que \beta é p.p.c.a.: calcular a norma de \beta'(s). Como \alpha é p.p.c.a., vale \|\alpha'(\sigma)\|=1 para todo \sigma. Então, para qualquer s,
\|\beta'(s)\|=\|-\alpha'(-s)\|=\|\alpha'(-s)\|=1.
Portanto \beta também tem velocidade unitária, ou seja, é p.p.c.a.

Passo 4

Encontrar o versor tangente T_\beta(s). Para uma curva p.p.c.a. o versor tangente é simplesmente a derivada (já unitária):
T_\beta(s)=\beta'(s)=-\alpha'(-s)=-T_\alpha(-s).
Aqui T_\alpha(\cdot) denota o versor tangente de \alpha. Em palavras: a tangente de \beta em s é a tangente de \alpha em -s, apontando no sentido oposto.

Passo 5

Usar as fórmulas de Frenet para relacionar derivadas de T e obter a curvatura de \beta. Primeiro derivamos T_\beta(s) em s. Aplicando novamente a regra da cadeia,
T_\beta'(s)=\frac{d}{ds}\big(-T_\alpha(-s)\big)=-\big(-T_\alpha'(-s)\big)=T_\alpha'(-s).
Agora usar a equação de Frenet para \alpha: como \alpha é p.p.c.a., existem k_\alpha e N_\alpha tais que
T_\alpha'(u)=k_\alpha(u)\,N_\alpha(u)\qquad\text{para todo }u.
Aplicando em u=-s obtemos
T_\beta'(s)=T_\alpha'(-s)=k_\alpha(-s)\,N_\alpha(-s).

Passo 6

Determinar o versor normal N_\beta e a curvatura k_\beta com cuidado da orientação. Pela definição padrão, para uma curva p.p.c.a. a normal principal N é dada por N=T'/\|T'\| (e o par (T,N) é escolhido com orientação positiva). Já calculamos \|T_\beta'(s)\|=\|T_\alpha'(-s)\|=|k_\alpha(-s)|, então o módulo da curvatura de \beta é |k_\alpha(-s)|. Para obter o sinal e a normal orientada corretamente, note que
T_\beta(s)=-T_\alpha(-s).
Se escolhermos N_\beta(s)=N_\alpha(-s) então o par (T_\beta,N_\beta)=(-T_\alpha(-s),N_\alpha(-s)) tem orientação oposta ao par (T_\alpha(-s),N_\alpha(-s)). Para manter a convenção de Frenet (par orientado positivamente), precisamos trocar o sinal em N também:
N_\beta(s)=-N_\alpha(-s).
Com essa escolha, (T_\beta,N_\beta)=(-T_\alpha(-s),-N_\alpha(-s)) tem a mesma orientação de (T_\alpha,N_\alpha).
Agora reescrevemos T_\beta'(s) em termos de N_\beta:
T_\beta'(s)=k_\alpha(-s)\,N_\alpha(-s) = -k_\alpha(-s)\,N_\beta(s).
Comparando com a fórmula de Frenet para \beta, T_\beta'(s)=k_\beta(s)\,N_\beta(s), segue que
k_\beta(s)=-k_\alpha(-s).

Passo 7

Verificar a consistência com a equação para N_\beta'. Começando de N_\beta(s)=-N_\alpha(-s) e derivando:
N_\beta'(s)=-\big(-N_\alpha'(-s)\big)=N_\alpha'(-s).
Usando N_\alpha'=-k_\alpha T_\alpha (Frenet para \alpha) em -s,
N_\beta'(s)= -k_\alpha(-s)T_\alpha(-s).
Substituindo T_\alpha(-s)=-T_\beta(s)
N_\beta'(s)= -k_\alpha(-s)\big(-T_\beta(s)\big)=k_\alpha(-s)T_\beta(s) = -k_\beta(s)T_\beta(s),
o que coincide com a fórmula de Frenet N_\beta'=-k_\beta T_\beta. Portanto todas as relações de Frenet permanecem válidas com as escolhas feitas.

Resposta

\beta é p.p.c.a. para todo s\in(-a,a).
T_\beta(s)=-T_\alpha(-s),
N_\beta(s)=-N_\alpha(-s),
k_\beta(s)=-k_\alpha(-s).

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