Seja
uma curva p.p.c.a. Definimos
,
. Prove que
está p.p.c.a. e que
,
. Calcule os elementos de Frenet de
em termos dos de
.
Passo 1
O enunciado dá uma curva
que é p.p.c.a. (ou seja, parametrizada por comprimento de arco; isto implica
para todo
). Define-se
por
O que se pede:
- Mostrar que
também é p.p.c.a. (ou seja, provar que para todo ). - Mostrar que
onde
é a curvatura (assumir a convenção de Frenet em que, para uma curva p.p.c.a., vale
e
).
- Escrever os elementos de Frenet de
em termos dos elementos de Frenet de (isto é, em função de ).
Passo 2
Mostrar que
é diferenciável e calcular
. Usarei a regra da cadeia: se
com
, então
. Aqui
. Logo
Explicando devagar:
é o vetor tangente de
avaliado em
; multiplicamos por
porque ao derivar o argumento
aparece o fator
.
Passo 3
Mostrar que
é p.p.c.a.: calcular a norma de
. Como
é p.p.c.a., vale
para todo
. Então, para qualquer
,
Portanto
também tem velocidade unitária, ou seja, é p.p.c.a.
Passo 4
Encontrar o versor tangente
. Para uma curva p.p.c.a. o versor tangente é simplesmente a derivada (já unitária):
Aqui
denota o versor tangente de
. Em palavras: a tangente de
em
é a tangente de
em
, apontando no sentido oposto.
Passo 5
Usar as fórmulas de Frenet para relacionar derivadas de
e obter a curvatura de
. Primeiro derivamos
em
. Aplicando novamente a regra da cadeia,
Agora usar a equação de Frenet para
: como
é p.p.c.a., existem
e
tais que
Aplicando em
obtemos
Passo 6
Determinar o versor normal
e a curvatura
com cuidado da orientação. Pela definição padrão, para uma curva p.p.c.a. a normal principal
é dada por
(e o par
é escolhido com orientação positiva). Já calculamos
, então o módulo da curvatura de
é
. Para obter o sinal e a normal orientada corretamente, note que
Se escolhermos
então o par
tem orientação oposta ao par
. Para manter a convenção de Frenet (par orientado positivamente), precisamos trocar o sinal em
também:
Com essa escolha,
tem a mesma orientação de
.
Agora reescrevemos
em termos de
:
Comparando com a fórmula de Frenet para
,
, segue que
Passo 7
Verificar a consistência com a equação para
. Começando de
e derivando:
Usando
(Frenet para
) em
,
Substituindo
dá
o que coincide com a fórmula de Frenet
. Portanto todas as relações de Frenet permanecem válidas com as escolhas feitas.