Seja \alpha: I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma curva plana p.p.c.a. com curvatura constante. Prove que seu traço é um segmento de reta ou uma circunferência.
Passo 1
O enunciado nos dá claramente as seguintes informações e pede a seguinte conclusão.
Informações dadas:
\alpha: I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 é uma curva planar p.p.c.a. (isto é, parametrizada por comprimento de arco — velocidade unitária: \|\alpha'(s)\|=1 para todo s\in I).
A curvatura \kappa(s) de \alpha é constante em I. Ou seja, existe k\in\mathbb{R} tal que \kappa(s)=k para todo s\in I.
O que se pede:
Provar que o traço (a imagem) \alpha(I) é um segmento de reta ou uma circunferência.
Passo 2
Vou lembrar e explicar os conceitos e fórmulas que vou usar (com calma, como se estivéssemos estudando juntos).
Como \alpha é parametrizada por comprimento de arco, a tangente unitária é
t(s)=\alpha'(s),
e tem norma \|t(s)\|=1.
A curvatura \kappa(s) mede a taxa de variação da direção do vetor tangente. Para curvas planas parametrizadas por comprimento de arco vale a fórmula
t'(s)=\kappa(s)\,n(s),
onde n(s) é o versor normal unitário (perpendicular a t(s)). Essa é a primeira das fórmulas de Frenet para curvas planas. Além disso,
n'(s)=-\kappa(s)\,t(s).
Essas duas relações significam, em palavras: o tangente muda na direção do normal com velocidade igual à curvatura; o normal muda na direção oposta ao tangente com mesma taxa.
Observação sobre sinais: \kappa(s) pode ser pensado como curvatura assinada. Se quisermos apenas a curvatura geométrica positiva usamos |\kappa|, mas aqui trabalharemos com o valor constante k (que pode ser zero, positivo ou negativo) dado no enunciado.
Passo 3
Caso k=0 (curvatura zero). Explico passo a passo.
Se \kappa(s)=0 para todo s\in I, então pela fórmula de Frenet
t'(s)=\kappa(s)\,n(s)=0.
Logo t(s) é constante: existe um vetor unitário t_0 tal que t(s)=t_0 para todo s.
Integrando t(s)=\alpha'(s)=t_0 obtemos
\alpha(s)=s\,t_0 + p_0,
onde p_0 é um ponto fixo (vetor constante) — por exemplo \alpha(s_0)-s_0 t_0. Isto é a equação paramétrica de uma reta. Portanto a imagem \alpha(I) é contida numa reta; como I é um intervalo, a imagem é um segmento (ou um semirreta ou a reta inteira dependendo de I), mas no sentido do enunciado conclui-se que o traço é um segmento de reta.
Passo 4
Caso k\neq0 (curvatura constante não nula). Vou construir um ponto que será o centro da circunferência e mostrar que é constante.
Tome k\in\mathbb{R}\setminus\{0\} tal que \kappa(s)=k para todo s\in I. Considere a função vetorc(s)=\alpha(s)+\frac{1}{k}\,n(s).Aqui n(s) é o versor normal unitário definido pelas fórmulas de Frenet. A ideia: c(s) é o centro do círculo de curvatura (centro de curvatura) em cada ponto; se mostrarmos que c(s) não depende de s, então todos os pontos \alpha(s) estão a distância constante de um mesmo centro, i.e. numa circunferência.
Passo 5
Calcular a derivada de c(s) e mostrar que é zero.
Derivando c(s) usando linha a linha:
c'(s)=\alpha'(s)+\frac{1}{k}\,n'(s).
Substituindo \alpha'(s)=t(s) e pela fórmula de Frenet n'(s)=-\kappa(s)\,t(s)=-k\,t(s) (pois \kappa(s)=k), obtemos
c'(s)=t(s)+\frac{1}{k}\,(-k\,t(s))=t(s)-t(s)=0.
Como c'(s)=0 para todo s\in I, segue que c(s) é constante: existe um ponto fixo c\in\mathbb{R}^2 tal que c(s)=c para todo s.
Passo 6
Concluir que \alpha(I) está contida numa circunferência e discutir o raio.
pois \|n(s)\|=1. Assim todos os pontos \alpha(s) estão à mesma distância \dfrac{1}{|k|} do ponto c: isto é exatamente a definição de uma circunferência de centro c e raio \dfrac{1}{|k|}. Logo \alpha(I) está contida nessa circunferência.
Observação sobre “traço ser a circunferência inteira ou só um arco”: a imagem \alpha(I) é uma parte contínua dessa circunferência (uma porção conexa). Se I for um intervalo que cobre um comprimento de arco de 2\pi/|k| então \alpha(I) pode percorrer a circunferência inteira; em qualquer caso \alpha(I) é uma porção (um arco) de uma circunferência. Assim a conclusão pedida (traço é circunferência) se interpreta naturalmente como: o traço está numa circunferência (ou é a circunferência, dependendo do domínio).
Resposta
Se \kappa\equiv0 então \alpha(I) é segmento de reta. Se \kappa\equiv k\neq0 então existe c\in\mathbb{R}^2 tal que \|\alpha(s)-c\|=1/|k| para todo s\in I, ou seja, \alpha(I) está contida em uma circunferência de raio 1/|k|.