Sejam \alpha, \beta: I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} duas curvas planas p.p.c.a. tais que suas curvaturas satisfazem k_{\alpha}(s)=-k_{\beta}(s), \forall s \in I. Prove que existe um movimento rígido inverso M tal que \beta=M \circ \alpha.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas planas parametrizadas por comprimento de arco (p.p.c.a.) \alpha,\beta:I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 e afirma que as curvaturas satisfazem
k_{\alpha}(s) = -\,k_{\beta}(s)\quad\text{para todo } s\in I.
O que se pede: provar que existe um movimento rígido inverso M (isto é, uma isometria do plano que inverte orientação: uma reflexão composta com uma rotação/traslação — em resumo, uma aplicação afim do tipo x\mapsto R x + t com R ortogonal e \det R=-1) tal que
\beta(s)=M(\alpha(s))\quad\text{para todo } s\in I.
Informações relevantes que temos e que usaremos: as curvas são p.p.c.a. (logo \|\alpha'(s)\|=\|\beta'(s)\|=1 para todo s); a curvatura de uma curva parametrizada por comprimento de arco entra nas equações de Frenet
T'(s)=k(s)N(s),\qquad N'(s)=-k(s)T(s),
onde T(s)=\alpha'(s) é o versor tangente e N(s) é o versor normal unitário escolhido adequadamente (orientação do par (T,N) determina o sinal de k). A relação k_\alpha=-k_\beta indica que as curvas “curvam” com a mesma intensidade mas em sentido oposto.

Passo 2

Relembrando e explicando as ferramentas (para você conseguir repetir isso na prova):
  • Por p.p.c.a. (parametrizada por comprimento de arco) entendemos que para cada curva \gamma(s) vale \|\gamma'(s)\|=1. Definimos T_\gamma(s)=\gamma'(s) (versor tangente).
  • O versor normal N_\gamma(s) é um vetor unitário ortogonal a T_\gamma(s). Em \mathbb{R}^2 escolhe-se N tal que (T,N) seja uma base ortonormal (a escolha entre “rodar T 90º no sentido anti-horário” ou no sentido horário determina o sinal de k).
  • As equações de Frenet para curva unit-speed são T'(s)=k(s)N(s),\qquad N'(s)=-k(s)T(s),onde k(s) é a curvatura com sinal — ela mede a taxa de variação do vetor tangente e o sinal indica o sentido de curvatura relativo à escolha de N.
  • Em termos práticos: conhecendo k(s) e os valores iniciais T(s_0),N(s_0) (em um s_0 fixo), o sistema de equações de Frenet é um sistema de EDO linear/primeira ordem para o par (T,N) e tem solução única (teorema de existência e unicidade para ODEs lineares com condição inicial).

Passo 3

Estratégia construtiva (sem pular etapas): escolher um ponto s_0\in I e alinhar as duas curvas nesse ponto por uma isometria linear apropriada seguida de translação.
Defina
p=\alpha(s_0),\qquad q=\beta(s_0),
e os versores em s_0
T_\alpha(s_0)=\alpha'(s_0),\; N_\alpha(s_0);\qquad T_\beta(s_0)=\beta'(s_0),\; N_\beta(s_0).
Os pares (T_\alpha(s_0),N_\alpha(s_0)) e (T_\beta(s_0),N_\beta(s_0)) são bases ortonormais de \mathbb{R}^2. Existe exatamente uma transformação linear ortogonal R:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 tal que
R\big(T_\alpha(s_0)\big)=T_\beta(s_0)\quad\text{e}\quad R\big(N_\alpha(s_0)\big)=-N_\beta(s_0).
Observações:
  • A imagem do segundo vetor foi escolhida com sinal negativo; isso garante que \det R=-1, ou seja, R inverte a orientação (isto é o que queremos: um movimento rígido inverso).
  • A existência e unicidade de R seguem porque uma aplicação linear é determinada pelas imagens de uma base, e pedir que imagens formem uma base ortonormal força R a ser ortogonal.

Passo 4

Definir o movimento rígido inverso M usando R e a translação que leva p até q:
M(x)=R(x-p)+q.
Verificações imediatas:
  • M é composição de uma translação e de uma aplicação linear ortogonal com \det R=-1, portanto é um movimento rígido inverso (preserva distâncias e inverte orientação).
  • M\big(\alpha(s_0)\big)=R(p-p)+q=q=\beta(s_0).
  • Derivando, como a translação some e R é linear, para todo s \big(M\circ\alpha\big)'(s)=R\big(\alpha'(s)\big)=R\big(T_\alpha(s)\big).Em particular \big(M\circ\alpha\big)'(s_0)=R\big(T_\alpha(s_0)\big)=T_\beta(s_0). Então M\circ\alpha e \beta têm a mesma posição e a mesma tangente em s_0.

Passo 5

Analisar o quadro de Frenet para a curva \gamma:=M\circ\alpha. Para cada s definimos
T_\gamma(s)=\gamma'(s)=R\big(T_\alpha(s)\big), \qquad U(s):=R\big(N_\alpha(s)\big).
Como R é isométrico, T_\gamma(s) e U(s) são vetores unitários ortogonais para todo s. Calcule a derivada de T_\gamma:
T_\gamma'(s)=R\big(T_\alpha'(s)\big)=R\big(k_\alpha(s)N_\alpha(s)\big)=k_\alpha(s)\,U(s).
Agora defina N_\gamma(s):=-U(s)=-R\big(N_\alpha(s)\big). Então N_\gamma é unitário e ortogonal a T_\gamma, e
T_\gamma'(s)=k_\alpha(s)\,U(s) = -k_\alpha(s)\,N_\gamma(s).
Usando a hipótese k_\beta(s)=-k_\alpha(s) obtemos
T_\gamma'(s)=k_\beta(s)\,N_\gamma(s).
Além disso, derivando N_\gamma(s)=-R(N_\alpha(s)) e usando as equações de Frenet de \alpha obtemos N_\gamma'(s)=-k_\beta(s)T_\gamma(s). Portanto o par (T_\gamma,N_\gamma) satisfaz exatamente as equações de Frenet com curvatura k_\beta(s).

Passo 6

Comparação com \beta e conclusão por unicidade:
  • Em s_0 temos T_\gamma(s_0)=R(T_\alpha(s_0))=T_\beta(s_0) e N_\gamma(s_0)=-R(N_\alpha(s_0))=N_\beta(s_0) (lembre a escolha de R no Passo 3). Assim \gamma e \beta têm as mesmas condições iniciais de posição e quadro de Frenet em s_0.
  • Tanto \gamma quanto \beta satisfazem o mesmo sistema de equações de Frenet (com curvatura k_\beta(s)) e as mesmas condições iniciais em s_0. Pelo teorema de unicidade para o sistema de ODEs das equações de Frenet (ou seja, para o sistema linear de primeira ordem que determina T e N), segue que T_\gamma(s)=T_\beta(s),\qquad N_\gamma(s)=N_\beta(s)\quad\text{para todo } s\in I.
  • Integrando as tangentes a partir de s_0, \gamma(s)-\gamma(s_0)=\int_{s_0}^{s} T_\gamma(u)\,du \quad\text{e}\quad \beta(s)-\beta(s_0)=\int_{s_0}^{s} T_\beta(u)\,du.Como T_\gamma=T_\beta e \gamma(s_0)=\beta(s_0), obtemos \gamma(s)=\beta(s) para todo s\in I.

Passo 7

Conclusão final e forma explícita do movimento rígido inverso:
  • Definindo R como no Passo 3 e M(x)=R(x-\alpha(s_0))+\beta(s_0), temos mostrado que M é um movimento rígido inverso (ortogonal com \det R=-1 mais translação) e que
\beta(s)=M(\alpha(s))\quad\text{para todo } s\in I.
Pronto — construímos explicitamente o movimento rígido inverso requerido e demonstramos que ele envia \alpha em \beta.

Resposta

Existe. Por exemplo, escolhendo s_0\in I e definindo p=\alpha(s_0), q=\beta(s_0) e R ortogonal com \det R=-1 tal que
R(\alpha'(s_0))=\beta'(s_0)\quad\text{e}\quad R(N_\alpha(s_0))=-N_\beta(s_0),
o movimento rígido inverso
M(x)=R(x-p)+q
satisfaz \beta=M\circ\alpha para todo s\in I.

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