Sejam
duas curvas planas p.p.c.a. tais que suas curvaturas satisfazem
. Prove que existe um movimento rígido inverso
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas planas parametrizadas por comprimento de arco (p.p.c.a.)
e afirma que as curvaturas satisfazem
O que se pede: provar que existe um movimento rígido inverso
(isto é, uma isometria do plano que inverte orientação: uma reflexão composta com uma rotação/traslação — em resumo, uma aplicação afim do tipo
com
ortogonal e
) tal que
Informações relevantes que temos e que usaremos: as curvas são p.p.c.a. (logo
para todo
); a curvatura de uma curva parametrizada por comprimento de arco entra nas equações de Frenet
onde
é o versor tangente e
é o versor normal unitário escolhido adequadamente (orientação do par
determina o sinal de
). A relação
indica que as curvas “curvam” com a mesma intensidade mas em sentido oposto.
Passo 2
Relembrando e explicando as ferramentas (para você conseguir repetir isso na prova):
- Por p.p.c.a. (parametrizada por comprimento de arco) entendemos que para cada curva
vale . Definimos (versor tangente). - O versor normal
é um vetor unitário ortogonal a . Em escolhe-se tal que seja uma base ortonormal (a escolha entre “rodar 90º no sentido anti-horário” ou no sentido horário determina o sinal de ). - As equações de Frenet para curva unit-speed são
onde é a curvatura com sinal — ela mede a taxa de variação do vetor tangente e o sinal indica o sentido de curvatura relativo à escolha de . - Em termos práticos: conhecendo
e os valores iniciais (em um fixo), o sistema de equações de Frenet é um sistema de EDO linear/primeira ordem para o par e tem solução única (teorema de existência e unicidade para ODEs lineares com condição inicial).
Passo 3
Estratégia construtiva (sem pular etapas): escolher um ponto
e alinhar as duas curvas nesse ponto por uma isometria linear apropriada seguida de translação.
Defina
Defina
e os versores em
Os pares
e
são bases ortonormais de
. Existe exatamente uma transformação linear ortogonal
tal que
Observações:
- A imagem do segundo vetor foi escolhida com sinal negativo; isso garante que
, ou seja, inverte a orientação (isto é o que queremos: um movimento rígido inverso). - A existência e unicidade de
seguem porque uma aplicação linear é determinada pelas imagens de uma base, e pedir que imagens formem uma base ortonormal força a ser ortogonal.
Passo 4
Definir o movimento rígido inverso
usando
e a translação que leva
até
:
Verificações imediatas:
-
é composição de uma translação e de uma aplicação linear ortogonal com , portanto é um movimento rígido inverso (preserva distâncias e inverte orientação). -
. - Derivando, como a translação some e
é linear, para todo Em particular . Então e têm a mesma posição e a mesma tangente em .
Passo 5
Analisar o quadro de Frenet para a curva
. Para cada
definimos
Como
é isométrico,
e
são vetores unitários ortogonais para todo
. Calcule a derivada de
:
Agora defina
. Então
é unitário e ortogonal a
, e
Usando a hipótese
obtemos
Além disso, derivando
e usando as equações de Frenet de
obtemos
. Portanto o par
satisfaz exatamente as equações de Frenet com curvatura
.
Passo 6
Comparação com
e conclusão por unicidade:
- Em
temos e (lembre a escolha de no Passo 3). Assim e têm as mesmas condições iniciais de posição e quadro de Frenet em . - Tanto
quanto satisfazem o mesmo sistema de equações de Frenet (com curvatura ) e as mesmas condições iniciais em . Pelo teorema de unicidade para o sistema de ODEs das equações de Frenet (ou seja, para o sistema linear de primeira ordem que determina e ), segue que - Integrando as tangentes a partir de
, Como e , obtemos para todo .
Passo 7
Conclusão final e forma explícita do movimento rígido inverso:
- Definindo
como no Passo 3 e , temos mostrado que é um movimento rígido inverso (ortogonal com mais translação) e que
Pronto — construímos explicitamente o movimento rígido inverso requerido e demonstramos que ele envia
em
.
Resposta
Existe. Por exemplo, escolhendo
e definindo
,
e
ortogonal com
tal que
o movimento rígido inverso
satisfaz
para todo
.