Seja alpha(t)=(-raiz22 cos t+raiz33 sen t, raiz22 cos t+raiz33 sen t,-raiz33 sen t), com t in[0,2 pi].
Determine a torção da curva alpha em um ponto genérico e conclua que alpha é uma curva plana.

Passo 1

O enunciado dá a curva alpha(t)=l(-tfracraiz22cos t+tfracraiz33sin t,;tfracraiz22cos t+tfracraiz33sin t,;-tfracraiz33sin tr) e pede a torsão tau(t) e a conclusão de que alpha é plana. O conteúdo aqui é torsão de uma curva no espaço, definida por tau=(alpha'timesalpha'')cdotalpha'''|alpha'timesalpha''|^2 e saber que se tauequiv0 então a curva é plana.

Passo 2

Vamos derivar alpha uma vez, duas vezes e três vezes para achar alpha', alpha'' e alpha''':
alpha'(t)=l(tfracraiz22sin t+tfracraiz33cos t,;-tfracraiz22sin t+tfracraiz33cos t,;-tfracraiz33cos tr)
alpha''(t)=l(tfracraiz22cos t-tfracraiz33sin t,;-tfracraiz22cos t-tfracraiz33sin t,;tfracraiz33sin tr)
$$\alpha’’’(t)=\Bigl(-\tfrac{\sqrt2}{2}\sin t-\tfrac{\sqrt3}{3}\cos t,;\tfrac{\sqrt2}{2}\sin t-\tfrac{\sqrt3}{3}\cos t,;\tfrac{\sqrt3}{3}\cos t\Bigr)
$$

Passo 3

Agora calculamos o produto vetorial alpha'(t)timesalpha''(t). Fazendo o determinante, encontra-se
alpha'(t)timesalpha''(t)=l(-tfracraiz66,;-tfracraiz66,;-tfracraiz63r)
e seu módulo é
|alpha'timesalpha''|=raiz66raiz1+1+4=1
portanto |alpha'timesalpha''|^2=1.

Passo 4

Em seguida, o numerador da torsão é o produto escalar
$$(\alpha’\times\alpha’’)\cdot\alpha’’’=\Bigl(-\tfrac{\sqrt6}{6},-\tfrac{\sqrt6}{6},-\tfrac{\sqrt6}{3}\bigr)\cdot\Bigl(-\tfrac{\sqrt2}{2}\sin t-\tfrac{\sqrt3}{3}\cos t,;\tfrac{\sqrt2}{2}\sin t-\tfrac{\sqrt3}{3}\cos t,;\tfrac{\sqrt3}{3}\cos t\Bigr)=0.
$$Logo
(alpha'timesalpha'')cdotalpha'''=l(-tfracraiz66,-tfracraiz66,-tfracraiz63r)cdotl(-tfracraiz22sin t-tfracraiz33cos t,;tfracraiz22sin t-tfracraiz33cos t,;tfracraiz33cos tr)=0

Passo 5

Como a torsão é identicamente zero para todo t, concluímos que alpha é uma curva plana.

Resposta

A torsão é tau(t)=0 para todo t, logo a curva é plana.

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