Seja
, com
.
Determine a torção da curva
em um ponto genérico e conclua que
é uma curva plana.
Determine a torção da curva
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede a torsão
e a conclusão de que
é plana. O conteúdo aqui é torsão de uma curva no espaço, definida por
e saber que se
então a curva é plana.
Passo 2
Vamos derivar
uma vez, duas vezes e três vezes para achar
,
e
:
$$\alpha’’’(t)=\Bigl(-\tfrac{\sqrt2}{2}\sin t-\tfrac{\sqrt3}{3}\cos t,;\tfrac{\sqrt2}{2}\sin t-\tfrac{\sqrt3}{3}\cos t,;\tfrac{\sqrt3}{3}\cos t\Bigr)
$$
Passo 3
Agora calculamos o produto vetorial
. Fazendo o determinante, encontra-se
e seu módulo é
portanto
.
Passo 4
Em seguida, o numerador da torsão é o produto escalar
$$(\alpha’\times\alpha’’)\cdot\alpha’’’=\Bigl(-\tfrac{\sqrt6}{6},-\tfrac{\sqrt6}{6},-\tfrac{\sqrt6}{3}\bigr)\cdot\Bigl(-\tfrac{\sqrt2}{2}\sin t-\tfrac{\sqrt3}{3}\cos t,;\tfrac{\sqrt2}{2}\sin t-\tfrac{\sqrt3}{3}\cos t,;\tfrac{\sqrt3}{3}\cos t\Bigr)=0.
$$Logo
Passo 5
Como a torsão é identicamente zero para todo
, concluímos que
é uma curva plana.
Resposta
A torsão é
para todo
, logo a curva é plana.