Seja alpha(t)=(-raiz22 cos t+raiz33 sen t, raiz22 cos t+raiz33 sen t,-raiz33 sen t), com t in[0,2 pi].
É correto afirmar que alpha é a parametrização de um círculo? Em caso positivo, exiba o centro e o raio do círculo.

Passo 1

Estamos com a curva paramétrica alpha(t)=l(-tfracraiz22cos t+tfracraiz33sin t,;tfracraiz22cos t+tfracraiz33sin t,;-tfracraiz33sin tr). O conteúdo é reconhecimento de circunferência em R^3, e vamos precisar escrever alpha(t) como combinação de cos t e sin t com vetores ortonormais.

Passo 2

Definimos os vetores
v=(-raiz22,;raiz22,;0), w=(raiz33,;raiz33,;-raiz33)
Note que então
alpha(t)=vcos t+wsin t

Passo 3

Mostramos agora que v e w são ortonormais. Calculamos o produto escalar:
vcdotw=-raiz22cdotraiz33+raiz22cdotraiz33+0=0,
e as normas:
|v|=raizl(tfracraiz22r)^2+l(tfracraiz22r)^2=1, |w|=raiz3cdotl(tfracraiz33r)^2=1

Passo 4

Como alpha(t)=cos t,v+sin t,w com v,w ortonormais, isso descreve um círculo de raio 1 centrado na origem.

Resposta

Sim. Centro em (0,0,0) e raio 1.

Exercícios relacionados