Seja alpha(t)=(sen(2 t), 2 sen^2 t, 2 cos t).
b) (1.0). Mostre que a projeção ortogonal do vetor velocidade no plano x y, tem comprimento constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a curva dada por alpha(t) = (sin(2t), 2sin^2t, 2cos t). O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que a projeção ortogonal do vetor velocidade dessa curva no plano xy tem comprimento constante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e projeção de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade da curva. O vetor velocidade é a derivada de alpha(t) em relação a t. Então, vamos derivar cada componente:
alpha'(t) = (ddt sin(2t), ddt [2sin^2t], ddt [2cos t])
Calculando cada derivada:
ddt sin(2t) = 2cos(2t)
ddt [2sin^2t] = 4sin t cos t
ddt [2cos t] = -2sin t
Então, o vetor velocidade fica:
alpha'(t) = (2cos(2t), 4sin t cos t, -2sin t)

Passo 3

Agora, vamos projetar este vetor velocidade no plano xy. Para isso, simplesmente ignoramos a componente z do vetor velocidade. Assim, a projeção é:
alpha'xy(t) = (2cos(2t), 4sin t cos t)

Passo 4

Para determinar se o comprimento dessa projeção é constante, vamos calcular o módulo do vetor alpha'xy(t). O comprimento de um vetor (a, b) é dado por:
|alpha'xy(t)| = raiza^2 + b^2
Aplicando isso:
|alpha'xy(t)| = raiz(2cos(2t))^2 + (4sin t cos t)^2
Simplificando as potências:
|alpha'xy(t)| = raiz4cos^2(2t) + 16sin^2t cos^2t

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
sin(2t) = 2sin t cos t e cos^2(2t) + sin^2(2t) = 1
Observando que 16sin^2t cos^2t = 4(2sin t cos t)^2 = 4sin^2(2t), podemos reescrever:
|alpha'xy(t)| = raiz4cos^2(2t) + 4sin^2(2t) = raiz4(cos^2(2t) + sin^2(2t))
Sabendo que cos^2(2t) + sin^2(2t) = 1, então:
|alpha'xy(t)| = raiz4 times 1 = raiz4 = 2

Resposta

O comprimento da projeção ortogonal do vetor velocidade no plano xy é constante e igual a 2.

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