Seja
.
b) (1.0). Mostre que a projeção ortogonal do vetor velocidade no plano
, tem comprimento constante.
b) (1.0). Mostre que a projeção ortogonal do vetor velocidade no plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a curva dada por
. O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que a projeção ortogonal do vetor velocidade dessa curva no plano
tem comprimento constante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e projeção de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade da curva. O vetor velocidade é a derivada de
em relação a
. Então, vamos derivar cada componente:
Calculando cada derivada:
Então, o vetor velocidade fica:
Passo 3
Agora, vamos projetar este vetor velocidade no plano
. Para isso, simplesmente ignoramos a componente
do vetor velocidade. Assim, a projeção é:
Passo 4
Para determinar se o comprimento dessa projeção é constante, vamos calcular o módulo do vetor
. O comprimento de um vetor
é dado por:
Aplicando isso:
Simplificando as potências:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
Observando que
, podemos reescrever:
Sabendo que
, então:
Resposta
O comprimento da projeção ortogonal do vetor velocidade no plano
é constante e igual a 2.