Sejam
, uma a.a. da distribuição
.Obtenha a distribuição amostral das seguintes estatísticas:
;
Passo 1
Beleza, temos duas variáveis independentes
e queremos a distribuição de
e queremos a distribuição de
Conteúdo: transformações de normais, soma e diferença, e razão de normais. Vamos usar que soma e diferença de normais são normais e independentes, e que razão de duas normais iid é Cauchy.
Passo 2
Definimos duas novas variáveis lineares:
Como
é vetorial normal e , temos independência de
e
.
Além disso,
Além disso,
Passo 3
Reescreve o
em função de
:
Note que
e
são independentes (pois
e
são).
Passo 4
Pra achar a lei de
, podemos lembrar de dois fatos:
- Se
são independentes e , , então é Cauchy padrão. - Tirar valor absoluto do denominador não muda a lei final, porque a densidade da razão de um normal por um half-normal (valor absoluto de normal) também gera a mesma densidade de Cauchy.
Um cálculo rápido de densidade confirma:
que é justamente a densidade da Cauchy padrão.