Sejam X1, X2, uma a.a. da distribuição N(0,1).Obtenha a distribuição amostral das seguintes estatísticas:
(X1+X2)raiz(X2-X1)^2;

Passo 1

Beleza, temos duas variáveis independentes
T ;=;X1+X2raiz(X2-X1)^2
e queremos a distribuição de
Conteúdo: transformações de normais, soma e diferença, e razão de normais. Vamos usar que soma e diferença de normais são normais e independentes, e que razão de duas normais iid é Cauchy.

Passo 2

Definimos duas novas variáveis lineares:
U = X1+X2, V = X2-X1
Como Usim N(0,2), Vsim N(0,2) é vetorial normal e , temos independência de e .
Além disso,

Passo 3

Reescreve o T ;=; X1+X2raiz(X2-X1)^2 ;=;U|V| em função de :
Note que e são independentes (pois e são).

Passo 4

Pra achar a lei de fT(t) =integral0^inftyw;fU(tw);f|V|(w),dw ;=;1pi(1+t^2), , podemos lembrar de dois fatos:
  1. Se são independentes e , , então é Cauchy padrão.
  2. Tirar valor absoluto do denominador não muda a lei final, porque a densidade da razão de um normal por um half-normal (valor absoluto de normal) também gera a mesma densidade de Cauchy.
    Um cálculo rápido de densidade confirma:
que é justamente a densidade da Cauchy padrão.

Resposta

X1+X2raiz(X2-X1)^2 ;sim; Cauchy(0,1)

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