Sejam X1, X2, uma a.a. da distribuição N(0,1).Obtenha a distribuição amostral das seguintes estatísticas:
X1^2X2^2.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos duas v.a. independentes T ;=;X1^2X2^2 e U/d1V/d2;sim;Fd1,d2 , cada uma com distribuição normal padrão . Queremos achar a distribuição amostral da estatística
Conteúdo da matéria: distribuição qui-quadrado e distribuição . Para resolver, vamos precisar saber que
  1. Se então (qui-quadrado com 1 grau de liberdade).
  2. Se e são independentes, então

Passo 2

Transformando cada termo em qui-quadrado:
  • Como , temos .
  • Como e é independente de , também .
Aqui “ ” significa qui-quadrado com 1 grau de liberdade.

Passo 3

Agora observe que
T ;=; X1^2X2^2 ;=;X1^2/1X2^2/1
Pelo resultado da teoria, se U/d1V/d2 sim Fd1,d2 e são independentes, então
No nosso caso, , e .

Resposta

X1^2X2^2 ;sim; F1,1

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