Seja
, uma função. A imagem de um conjunto
pela função
é o conjunto
Se
. Mostre que
b)
b)
Passo 1
Então, a gente tem uma função chamada
que vai de um conjunto
para outro conjunto
. O problema quer a gente mostrar que a imagem da união de dois conjuntos
e
através da função
é igual à união das imagens desses dois conjuntos separadamente. Mais especificamente, a gente precisa provar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a imagem de um conjunto por uma função e como funciona a união de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a imagem de um conjunto por uma função. Se a gente tem uma função
e um subconjunto
de
, a imagem de
por
é o conjunto de todos os
onde
pertence a
. Isso é representado por:
Isso significa que a gente aplica a função
em cada elemento de
e junta todos os resultados em um novo conjunto.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é a união de dois conjuntos. A união de
e
, escrita como
, é o conjunto que contém todos os elementos que estão em
, em
, ou em ambos. Formalmente:
Então, quando a gente aplica a função
na união
, estamos aplicando
em todos os elementos que estão em
, em
, ou em ambos.
Passo 4
Vamos começar provando o primeiro sentido da igualdade: mostrar que toda imagem de
está na união das imagens de
e
. Ou seja, provar que:
Pegue qualquer elemento
que esteja em
. Por definição, isso significa que existe algum
tal que
. Mas
pertence a
, então
ou está em
ou está em
. Se
está em
, então
está em
. Se
está em
, então
está em
. Portanto,
está em
.
Isso mostra que tudo em
também está em
, então:
Passo 5
Agora, vamos provar o outro sentido: que toda imagem na união das imagens de
e
está na imagem da união
. Ou seja, mostrar que:
Pegue qualquer elemento
que esteja em
. Isso significa que
está em
ou está em
. Se
está em
, então existe algum
tal que
. Como
está contido em
,
também está em
, então
está em
. O mesmo raciocínio vale se
está em
.
Portanto, qualquer
em
também está em
, ou seja:
Resposta
Como mostramos que
e
, concluímos que: