Seja f: X Y, uma função. A imagem de um conjunto A subset X pela função f é o conjunto
f(A)=f(x) ; x in A
Se A, A^prime subset X. Mostre que
b) f(A cup A^prime)=f(A) cup f(A^prime)

Passo 1

Então, a gente tem uma função chamada f(A cup A') = f(A) cup f(A') que vai de um conjunto para outro conjunto . O problema quer a gente mostrar que a imagem da união de dois conjuntos e através da função é igual à união das imagens desses dois conjuntos separadamente. Mais especificamente, a gente precisa provar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a imagem de um conjunto por uma função e como funciona a união de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a imagem de um conjunto por uma função. Se a gente tem uma função f(A) = f(x) mid x in A e um subconjunto de , a imagem de por é o conjunto de todos os onde pertence a . Isso é representado por:
Isso significa que a gente aplica a função em cada elemento de e junta todos os resultados em um novo conjunto.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é a união de dois conjuntos. A união de A cup A' = x mid x in A ou x in A' e , escrita como , é o conjunto que contém todos os elementos que estão em , em , ou em ambos. Formalmente:
Então, quando a gente aplica a função na união , estamos aplicando em todos os elementos que estão em , em , ou em ambos.

Passo 4

Vamos começar provando o primeiro sentido da igualdade: mostrar que toda imagem de f(A cup A') subseteq f(A) cup f(A') está na união das imagens de f(A cup A') subseteq f(A) cup f(A') e . Ou seja, provar que:
Pegue qualquer elemento que esteja em . Por definição, isso significa que existe algum tal que . Mas pertence a , então ou está em ou está em . Se está em , então está em . Se está em , então está em . Portanto, está em .
Isso mostra que tudo em também está em , então:

Passo 5

Agora, vamos provar o outro sentido: que toda imagem na união das imagens de f(A) cup f(A') subseteq f(A cup A') e f(A) cup f(A') subseteq f(A cup A') está na imagem da união . Ou seja, mostrar que:
Pegue qualquer elemento que esteja em . Isso significa que está em ou está em . Se está em , então existe algum tal que . Como está contido em , também está em , então está em . O mesmo raciocínio vale se está em .
Portanto, qualquer em também está em , ou seja:

Resposta

Como mostramos que f(A cup A') = f(A) cup f(A') e , concluímos que:

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