Sejam f: R^3 R e g: R R^3 dadas por f(x, y, z)=xz+yz+xy e g(t)=(e^t, cos t, sen t). Calcule (f^circ g) (1).

Passo 1

Temos a função f: R^3toR definida por f(x,y,z)=xz+yz+xy e g: RtoR^3 dada por g(t)=(e^t,,cos t,,sin t). O objetivo é calcular a derivada de h(t)=f(g(t)) em t=1. Vamos usar regra da cadeia, derivada de soma e de produto, além das derivadas de e^t, cos t e sin t.

Passo 2

Substituímos g(t) em f para obter a função composta h(t)=f(e^t,cos t,sin t). Assim,
h(t)=e^tsin t+cos tsin t+e^tcos t

Passo 3

Derivamos termo a termo usando regra do produto e soma:
  • Para e^tsin t:
    ddt(e^tsin t)=e^tsin t+e^tcos t
  • Para cos tsin t:
    ddt(cos tsin t)=-sin tcdotsin t+cos tcdotcos t=-sin^2 t+cos^2 t
  • Para e^tcos t:
    ddt(e^tcos t)=e^tcos t-e^tsin t
Somando as três derivadas:
h'(t)=(e^tsin t+e^tcos t)+(-sin^2 t+cos^2 t)+(e^tcos t-e^tsin t)
As parcelas e^tsin t se cancelam e agrupamos os e^tcos t:
h'(t)=2e^tcos t+cos^2 t-sin^2 t=2e^tcos t+cos(2t)

Passo 4

Por fim, avaliamos em t=1:
h'(1)=2e^1cos(1)+cos(2cdot1)=2ecos1+cos2

Resposta

2ecos1+cos2

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