Seja ( an) uma sequência numérica decrescente satisfazendo
|an|
para todo n >= 1, onde M é um escalar estritamente positivo.
Escolha uma das seguintes alternativas para sequência (an).
( an ) converge para algum escalar L com -M <= L <= M.
B (an) diverge.
C (an) converge para 0.
D Não se pode afirmar nada sobre a convergência ou divergência da sequência (an).
E(an) converge para -M.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma sequência numérica chamada (an) que é decrescente, ou seja, os valores dela vão diminuindo conforme $ n $ aumenta. Além disso, sabemos que o valor absoluto de cada termo dessa sequência é menor que um número positivo $ M $, ou seja, n para todo $ n \geq 1 $.
O conteúdo que vamos usar aqui envolve convergência de sequências e sequências limitadas. Para resolver, precisamos entender o que significa uma sequência ser decrescente e estar limitada em módulo por $ M $, e como isso influencia na convergência dessa sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma sequência decrescente é aquela em que cada termo é menor ou igual ao anterior. Ou seja, $ a_{n+1} \leq a_n $ para todo $ n $.
Também temos que an+1 <= an , o que significa que todos os termos da sequência estão dentro do intervalo n . Isso nos diz que a sequência é limitada.

Passo 3

Agora, vamos juntar essas informações. Uma sequência que é decrescente e limitada abaixo (no nosso caso, limitada em módulo por $ M $) tem uma limite inferior. Isso significa que a sequência vai se aproximar de um valor específico à medida que $ n $ cresce.
Em termos matemáticos, pelo teorema da convergência de sequências monotônicas, toda sequência que é monótona (crescente ou decrescente) e limitada é convergente.

Passo 4

Aplicando isso à nossa sequência (an), como ela é decrescente e está limitada (já que |an| < M), podemos concluir que ela converge para algum valor $ L $.
Além disso, como L para todo $ n $, o limite $ L $ também deve satisfazer |an| < M. Isso porque os termos da sequência nunca ultrapassam esses valores em módulo.

Resposta

A sequência (an) converge para algum escalar $ L $ com $ -M \leq L \leq M $.
Alternativa A.

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