Seja (
) uma sequência numérica decrescente satisfazendo
para todo
, onde
é um escalar estritamente positivo.
Escolha uma das seguintes alternativas para sequência
.
(
) converge para algum escalar
com
.
B
diverge.
C
converge para 0.
D Não se pode afirmar nada sobre a convergência ou divergência da sequência
.
converge para
.
Escolha uma das seguintes alternativas para sequência
(
B
C
D Não se pode afirmar nada sobre a convergência ou divergência da sequência
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma sequência numérica chamada
que é decrescente, ou seja, os valores dela vão diminuindo conforme $ n $ aumenta. Além disso, sabemos que o valor absoluto de cada termo dessa sequência é menor que um número positivo $ M $, ou seja,
para todo $ n \geq 1 $.
O conteúdo que vamos usar aqui envolve convergência de sequências e sequências limitadas. Para resolver, precisamos entender o que significa uma sequência ser decrescente e estar limitada em módulo por $ M $, e como isso influencia na convergência dessa sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma sequência decrescente é aquela em que cada termo é menor ou igual ao anterior. Ou seja, $ a_{n+1} \leq a_n $ para todo $ n $.
Também temos que
, o que significa que todos os termos da sequência estão dentro do intervalo
. Isso nos diz que a sequência é limitada.
Passo 3
Agora, vamos juntar essas informações. Uma sequência que é decrescente e limitada abaixo (no nosso caso, limitada em módulo por $ M $) tem uma limite inferior. Isso significa que a sequência vai se aproximar de um valor específico à medida que $ n $ cresce.
Em termos matemáticos, pelo teorema da convergência de sequências monotônicas, toda sequência que é monótona (crescente ou decrescente) e limitada é convergente.
Passo 4
Aplicando isso à nossa sequência
, como ela é decrescente e está limitada (já que
), podemos concluir que ela converge para algum valor $ L $.
Além disso, como
para todo $ n $, o limite $ L $ também deve satisfazer
. Isso porque os termos da sequência nunca ultrapassam esses valores em módulo.
Resposta
A sequência
converge para algum escalar $ L $ com $ -M \leq L \leq M $.
Alternativa A.