Sejam
e
. Assinale a alternativa correta:
A
diverge e
converge.
B
e
convergem.
C Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
converge e
diverge.
E
e
divergem .
A
B
C Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
E
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos duas séries infinitas:
O objetivo é determinar se cada uma dessas séries converge ou diverge. Para isso, vamos usar testes de convergência de séries infinitas, focando no comportamento dos termos quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série $ S_{1} $:
Podemos simplificar essa expressão separando os termos com expoentes semelhantes:
Como $ \frac{5{6}}{6{2}} $ é uma constante, vamos focar na parte que depende de $ n $:
Passo 3
Agora, observamos que a expressão $ \left(\frac{5}{6}\right){n{2}-2n} $ tem uma base menor que 1, já que $ \frac{5}{6} < 1 $. Quando uma base menor que 1 é elevada a uma potência que cresce rapidamente (como $ n^{2} $), o resultado tende a zero muito rápido.
Por outro lado, $ 6^{2n-2} = 6^{2n} \cdot 6^{-2} = \frac{6^{2n}}{36} $ também cresce exponencialmente, mas comparado com $ \left(\frac{5}{6}\right){n{2}} $, o termo que tende a zero ganha mais força.
Portanto, o termo geral de $ S_{1} $ tende a zero à medida que $ n $ cresce.
Passo 4
Para confirmar a convergência de $ S_{1} $, podemos usar o Teste da Razão. Vamos calcular o limite da razão entre termos consecutivos:
Se $ L < 1 $, a série converge absolutamente.
Aplicando isso a $ S_{1} $:
Simplificando os expoentes e calculando a razão, observamos que o limite $ L $ tende a um valor menor que 1, confirmando que $ S_{1} $ converge.
Passo 5
Agora, vamos analisar a série $ S_{2} $:
Simplificando de forma semelhante a $ S_{1} $:
Simplificando os expoentes, notamos que a base $ \frac{7}{6} > 1 $, e o expoente $ n^{3} $ cresce de forma cúbica.
Passo 6
Como a base $ \frac{7}{6} $ é maior que 1 e está sendo elevada a uma potência cúbica que cresce sem limites, o termo geral de $ S_{2} $ tende ao infinito à medida que $ n $ aumenta.
De acordo com o Critério da Divergência, se o limite do termo geral de uma série não é zero (ou tende ao infinito), a série diverge.
Resposta
A série $ S_{1} $ converge e a série $ S_{2} $ diverge. Portanto, a alternativa correta é:
D) $ S_{1} $ converge e $ S_{2} $ diverge.