Sejam S1=sumn=0^infty 5^n^2-2 n+66^n^2-4 n+2 e S2=sumn=0^infty 7^n^3-3 n-16^n^3-2 n+1. Assinale a alternativa correta:
A S1 diverge e S2 converge.
B S1 e S2 convergem.
C Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
S1 converge e S2 diverge.
E S1 e S2 divergem .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos duas séries infinitas:
S1 = sumn=0^infty 5^n^2-2n+66^n^2-4n+2 e S2 = sumn=0^infty 7^n^3-3n-16^n^3-2n+1
O objetivo é determinar se cada uma dessas séries converge ou diverge. Para isso, vamos usar testes de convergência de séries infinitas, focando no comportamento dos termos quando $ n $ tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série $ S_{1} $:
S1
Podemos simplificar essa expressão separando os termos com expoentes semelhantes:
S1 = sumn=0^infty 5^n^2-2n+66^n^2-4n+2
Como $ \frac{5{6}}{6{2}} $ é uma constante, vamos focar na parte que depende de $ n $:
5^n^2-2n+66^n^2-4n+2 = 5^n^2-2n cdot 5^66^n^2-4n cdot 6^2 = (5^n^2-2n6^n^2-4n) cdot 5^66^2

Passo 3

Agora, observamos que a expressão $ \left(\frac{5}{6}\right){n{2}-2n} $ tem uma base menor que 1, já que $ \frac{5}{6} < 1 $. Quando uma base menor que 1 é elevada a uma potência que cresce rapidamente (como $ n^{2} $), o resultado tende a zero muito rápido.
Por outro lado, $ 6^{2n-2} = 6^{2n} \cdot 6^{-2} = \frac{6^{2n}}{36} $ também cresce exponencialmente, mas comparado com $ \left(\frac{5}{6}\right){n{2}} $, o termo que tende a zero ganha mais força.
Portanto, o termo geral de $ S_{1} $ tende a zero à medida que $ n $ cresce.

Passo 4

Para confirmar a convergência de $ S_{1} $, podemos usar o Teste da Razão. Vamos calcular o limite da razão entre termos consecutivos:
S1
Se $ L < 1 $, a série converge absolutamente.
Aplicando isso a $ S_{1} $:
L = limn to infty | an+1an |
L < 1
Simplificando os expoentes e calculando a razão, observamos que o limite $ L $ tende a um valor menor que 1, confirmando que $ S_{1} $ converge.

Passo 5

Agora, vamos analisar a série $ S_{2} $:
S2
Simplificando de forma semelhante a $ S_{1} $:
S2 = sumn=0^infty 7^n^3-3n-16^n^3-2n+1
Simplificando os expoentes, notamos que a base $ \frac{7}{6} > 1 $, e o expoente $ n^{3} $ cresce de forma cúbica.

Passo 6

Como a base $ \frac{7}{6} $ é maior que 1 e está sendo elevada a uma potência cúbica que cresce sem limites, o termo geral de $ S_{2} $ tende ao infinito à medida que $ n $ aumenta.
De acordo com o Critério da Divergência, se o limite do termo geral de uma série não é zero (ou tende ao infinito), a série diverge.

Resposta

A série $ S_{1} $ converge e a série $ S_{2} $ diverge. Portanto, a alternativa correta é:
D) $ S_{1} $ converge e $ S_{2} $ diverge.

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