Seja D um domínio de integridade e \sim uma relação em D \times D^{*}. onde D^{*}=D-\{0\} dada por:
(a, b) \sim(c, d) \Leftrightarrow a d=b c .
(a) Mostre que \sim é uma relação de equivalência.
(b) Seja K=D \times D^{*} / \sim o conjunto quociente pela relação acima. Usaremos a notação \frac{a}{b}=\overline{(a, b)}. Definimos as operações:
\begin{aligned} +: K \times K & \rightarrow K \\\ \frac{a}{b}+\frac{c}{d} & \mapsto \frac{a d+c b}{b d} \\\ \therefore K \times K & \rightarrow K \\\ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} & \mapsto \frac{a c}{b d} \end{aligned}
Mostre que as operações estão bem definidas.

Passo 1

O enunciado dá um domínio de integridade D e a parte não-nula D^{*}=D-\{0\}. Está definida uma relação em D\times D^{*} por
(a,b)\sim(c,d)\Longleftrightarrow a d = b c.
Pede-se:
  1. Mostrar que \sim é uma relação de equivalência (ou seja, verificar reflexividade, simetria e transitividade).
  2. No quociente K = D\times D^{*}/\sim (onde escrevemos \dfrac{a}{b} para a classe \overline{(a,b)}) são definidas operações
\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\mapsto\frac{ad+cb}{bd},\qquad \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}\mapsto\frac{ac}{bd}.
Mostre que essas operações estão bem definidas, isto é: se mudamos os representantes (a,b) e (c,d) por outros equivalentes, a classe resultante da soma e do produto não muda.

Passo 2

Definição rápida e útil (pra ficar claro o que vamos provar):
  • Uma relação é reflexiva se todo (a,b) satisfaz (a,b)\sim(a,b).
  • É simétrica se de (a,b)\sim(c,d) segue (c,d)\sim(a,b).
  • É transitiva se de (a,b)\sim(c,d) e (c,d)\sim(e,f) segue (a,b)\sim(e,f).
    Vou verificar cada propriedade usando a definição (a,b)\sim(c,d)\iff ad=bc. Lembre-se: em D valem comutatividade e a propriedade sem divisor de zero (cancelamento para fatores não nulos).

Passo 3

Reflexividade:
Para qualquer (a,b)\in D\times D^{*} temos
a b = b a,
logo (a,b)\sim(a,b) porque a\cdot b = b\cdot a. Assim \sim é reflexiva.

Passo 4

Simetria:
Se (a,b)\sim(c,d) então, por definição, a d = b c. Mas a igualdade em anéis/domínios é simétrica, isto é b c = a d, o que é exatamente a condição (c,d)\sim(a,b). Portanto \sim é simétrica.

Passo 5

Transitividade:
Suponha (a,b)\sim(c,d) e (c,d)\sim(e,f). Então
a d = b c \quad\text{e}\quad c f = d e.
Multiplicando a primeira igualdade por f obtemos a d f = b c f. Multiplicando a segunda por b obtemos b c f = b d e. Logo
a d f = b d e.
Como d\in D^{*} (ou seja, d\neq 0) e D é domínio de integridade (não tem divisores de zero), podemos cancelar o fator d em ambos os lados para obter
a f = b e.
Isto é exatamente a condição (a,b)\sim(e,f). Portanto \sim é transitiva.

Passo 6

Conclusão da parte (a):
Como \sim é reflexiva, simétrica e transitiva, é uma relação de equivalência em D\times D^{*}.

Passo 7

Agora (b): o que significa “operações bem definidas”?
Se (a,b)\sim(a',b') e (c,d)\sim(c',d'), devemos mostrar que
\frac{ad+cb}{bd}\sim\frac{a'd'+c'b'}{b'd'}\qquad\text{e}\qquad \frac{ac}{bd}\sim\frac{a'c'}{b'd'}.
Isto garante que a soma e o produto das classes não dependem dos representantes escolhidos.
Das hipóteses (a,b)\sim(a',b') e (c,d)\sim(c',d') temos as igualdades
a b' = a' b \quad\text{e}\quad c d' = c' d,
obtidas aplicando a definição ad=bc aos pares indicados (troque os nomes convenientemente). Vou usá-las repetidas vezes.

Passo 8

Produto — demonstração detalhada:
Queremos mostrar que (ac,bd)\sim(a'c',b'd'), isto é
(ac)(b'd') = (a'c')(bd).
Calcule o lado esquerdo como produto de fatores agrupados de forma conveniente:
(ac)(b'd') = a c b' d' = (a b')(c d').
Agora substituímos a b' = a' b e c d' = c' d:
(a b')(c d') = (a' b)(c' d) = a' c' b d,
que é exatamente o lado direito. Portanto o produto está bem definido.

Passo 9

Soma — demonstração detalhada:
Queremos mostrar que
(ad+cb,\, bd)\sim(a'd'+c'b',\, b'd'),
ou seja
(ad+cb)\,b'd' = (a'd'+c'b')\, b d.
Expanda ambos os lados:
\text{LHS} = a d b' d' + c b b' d',\qquad \text{RHS} = a' d' b d + c' b' b d.
Vou reescrever cada termo usando as igualdades a b' = a' b e c d' = c' d e a comutatividade em D.
Para o primeiro par de termos:
a d b' d' = a b' d d' = a' b d d' = a' d' b d,
onde na segunda igualdade usei a b' = a' b e na terceira apenas reordenei multiplicação (comutatividade).
Para o segundo par de termos:
c b b' d' = b b' c d' = b b' c' d = c' b b' d = c' b' b d,
onde usei c d' = c' d e comutatividade para reorganizar fatores.
Somando as igualdades anteriores obtemos exatamente \text{LHS}=\text{RHS}. Assim
(ad+cb)\,b'd' = (a'd'+c'b')\, b d,
isto é (ad+cb,bd)\sim(a'd'+c'b',b'd'). Logo a soma está bem definida.

Passo 10

Conclusão da parte (b):
Mostrei que se trocarmos representantes por outros equivalentes, tanto o produto quanto a soma levam a classes equivalentes. Portanto as operações dadas em K são bem definidas.

Resposta

(a) \sim é uma relação de equivalência.
(b) As operações \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+cb}{bd} e \dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd} estão bem definidas.

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