Seja C o arco da parábola y=-14(x-1)^2 de (1,0) até (-1,-1). o valor da integral integralC -yx^2+y^2 d x+xx^2+y^2 d y é:
Escolha uma opção:
  • -3 pi4
  • -pi4
  • 3 pi4
  • pi4
  • -3 pi2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC -yx^2+y^2,dx + xx^2+y^2,dy ao longo do arco da parábola y=-tfrac14(x-1)^2 de (1,0) a (-1,-1). O conteúdo é integrais de linha de 1-formas e potenciais, e vamos precisar mostrar que essa 1-forma é exata (tem potencial) e identificar esse potencial.

Passo 2

Chamamos M(x,y)=-tfracyx^2+y^2 e N(x,y)=tfracxx^2+y^2. Para verificar se há potencial, comparamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = -(x^2+y^2)-2y^2(x^2+y^2)^2 = -x^2-y^2(x^2+y^2)^2,
partial Npartial x = (x^2+y^2)-2x^2(x^2+y^2)^2 = y^2-x^2(x^2+y^2)^2 = -x^2-y^2(x^2+y^2)^2
Como partial M/partial y = partial N/partial x em R^2setminus(0,0), a 1-forma é exata e existe um potencial phi(x,y).

Passo 3

Reconhecemos que essa 1-forma é a diferencial do argumento de (x,y). Ou seja, podemos tomar
phi(x,y)=Arg(x+iy)=arctanl(yxr),
onde escolhemos a contínua ao longo do caminho que vai de (1,0) (na borda do 1º quadrante) ao ponto final em (-1,-1) (3º quadrante).

Passo 4

A integral de linha é simplesmente a variação do potencial entre os extremos:
integralC M,dx+N,dy = phi(-1,-1)-phi(1,0)
Em (1,0) temos phi(1,0)=0. Em (-1,-1), na continuação que vai de 0 ao redor do semieixo negativo, o argumento é -3pi/4. Logo:
integralC = (-3pi/4) - 0 = -3pi4

Resposta

-\tfrac{3\pi}{4}

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