Utilize o método de variação de parâmetros para determinar a solução geral da EDO
y^prime prime+2 y^prime-3 y=e^t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem não homogênea
y'' + 2y' - 3y = e^t
usando o método de variação de parâmetros. O conteúdo envolvido é EDOs de 2ª ordem lineares e a técnica de variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada. A equação característica é
r^2 + 2r - 3 = 0
Resolvendo, obtemos as raízes r1 = 1 e r2 = -3. Logo a solução homogênea é
yc = C1 e^t + C2 e^-3t

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, tomamos as soluções fundamentais y1 = e^t e y2 = e^-3t. Calculamos o Wronskiano:
W = y1 & y2 y1' & y2' = e^t(-3e^-3t) - e^t e^-3t = -4e^-2t

Passo 4

As fórmulas para as derivadas dos coeficientes dependentes são
u1' = -f(t),y2W, u2' = f(t),y1W,
onde f(t)=e^t. Substituindo, vem
u1' = -e^t,e^-3t-4e^-2t = 14,
u2' = e^t,e^t-4e^-2t = -14 e^4t

Passo 5

Integramos para achar u1 e u2:
u1 = integral 14,dt = t4,
u2 = integral -14 e^4t,dt = -116e^4t

Passo 6

A solução particular é
yp = u1y1 + u2y2 = t4 e^t - 116e^4te^-3t = e^tl( t4 - 116r) = e^t(4t-1)16

Passo 7

Por fim, a solução geral da EDO não homogênea é a soma de yc e yp:
y = C1 e^t + C2 e^-3t + e^t(4t-1)16

Resposta

y = C_1 e^t + C_2 e^{-3t} + \frac{e^t(4t-1)}{16}

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