Seja
. Determine:
a) o domínio de
A expressão
está definida quando
Portanto, o domínio de
é
b)
, se existir
Dado
,
donde
, para
.
a) o domínio de
b)
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
a) o domínio de ;
b) a inversa , caso exista.
Vamos usar as propriedades de domínio do e o fato de que a função cúbica e a raiz cúbica são estritamente crescentes.
a) o domínio de
b) a inversa
Vamos usar as propriedades de domínio do
Passo 2
Para que
esteja definida, seu argumento precisa satisfazer
Como a função
é estritamente crescente, temos equivalência com
Extraindo a raiz cúbica (mantendo as desigualdades porque a raiz cúbica é crescente), chega-se a
Logo,
Passo 3
Para existir
, precisamos que
seja bijetora no domínio. Como cada passo da composição
é função estritamente crescente,
também é estritamente crescente em
, e portanto é invertível. O contradomínio (imagem) de
é o intervalo natural de
, ou seja
.
Passo 4
Para achar a inversa, escrevemos
e resolvemos em termos de
:
Assim, trocando
por
na definição de inversa, obtemos
Resposta
a)
b)
b)