Seja f(x)=arcsen(raiz[3]x^3-pi). Determine:
a) o domínio de f
A expressão arcsen(raiz[3]x^3-pi) está definida quando
-1 & <= raiz[3]x^3-pi <= 1 -1 & <= x^3-pi <= 1 pi-1 & <= x^3 <= pi+1 raiz[3]pi-1 & <= x <= raiz[3]pi+1 "e<=var ao cubo mantém as desigualdades" é
Portanto, o domínio de f é [raiz[3]pi-1, raiz[3]pi+1]
b) f^-1(x), se existir
Dado y in[-pi / 2, pi / 2],
arcsen(raiz[3]x^3-pi) & =y raiz[3]x^3-pi & =sen y x^3-pi & =sen^3 y x^3 & =sen^3 y+pi x & =raiz[3]sen^3 y+pi
donde f^-1(x)=raiz[3]sen^3 x+pi, para x in[-pi / 2, pi / 2].

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=arcsin!l(raiz[3]x^3-pir)
e pede:
a) o domínio de f;
b) a inversa f^-1, caso exista.
Vamos usar as propriedades de domínio do arcsin e o fato de que a função cúbica e a raiz cúbica são estritamente crescentes.

Passo 2

Para que arcsin esteja definida, seu argumento precisa satisfazer
-1 <= raiz[3]x^3-pi<= 1
Como a função raiz[3],cdot, é estritamente crescente, temos equivalência com
-1 <= x^3-pi<= 1 Long<=ftrightarrow pi-1 <= x^3<= pi+1
Extraindo a raiz cúbica (mantendo as desigualdades porque a raiz cúbica é crescente), chega-se a
raiz[3]pi-1;<=;x;<=;raiz[3]pi+1
Logo,
Domínio(f) =l[raiz[3]pi-1,,raiz[3]pi+1r] í

Passo 3

Para existir f^-1, precisamos que f seja bijetora no domínio. Como cada passo da composição
xmapsto x^3-pi, tmapsto raiz[3]t, umapsto arcsin(u)
é função estritamente crescente, f também é estritamente crescente em l[raiz[3]pi-1,raiz[3]pi+1r], e portanto é invertível. O contradomínio (imagem) de f é o intervalo natural de arcsin, ou seja l[-tfracpi2,tfracpi2r].

Passo 4

Para achar a inversa, escrevemos y=f(x) e resolvemos em termos de x:
y=arcsin!l(raiz[3]x^3-pir) ;Longrightarrow; raiz[3]x^3-pi=sin(y) ;Longrightarrow; x^3-pi=sin^3(y) ;Longrightarrow; x^3=sin^3(y)+pi ;Longrightarrow; x=raiz[3]sin^3(y)+pi
Assim, trocando y por x na definição de inversa, obtemos
f^-1(x)=raiz[3]sin^3(x)+pi, xinl[-tfracpi2,tfracpi2r]

Resposta

a) [raiz[3]pi-1,,raiz[3]pi+1]
b) f^-1(x)=raiz[3]sin^3(x)+pi, xinl[-tfracpi2,tfracpi2r]

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