Encontre todos os pontos da curva x^2+y^2=4 onde as retas tangentes são paralelas à reta de equação x+y=2.

Passo 1

O enunciado pede os pontos da circunferência de equação
x^2+y^2=4
cujos tangentes sejam paralelas à reta
x+y=2
O conteúdo usado será diferenciação implícita para obter a inclinação da reta tangente à curva, e depois compará-la à inclinação da reta dada.

Passo 2

A reta x+y=2 pode ser escrita como y=2-x, de onde vemos que sua inclinação (coeficiente angular) é
mreta=-1

Passo 3

Para a curva ,x^2+y^2=4, diferenciamos implicitamente em relação a x:
ddxl(x^2+y^2r)=ddx(4) Longrightarrow 2x+2y,dydx=0,
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dydx=-xy
Esse é o coeficiente angular da tangente à circunferência em cada ponto (x,y).

Passo 4

Queremos que essa inclinação seja igual a -1, isto é,
-xy = -1 Longrightarrow xy=1 Longrightarrow x = y,
com yneq0 para a derivada fazer sentido.

Passo 5

Substituindo y=x em x^2+y^2=4
x^2+x^2=4 Longrightarrow 2x^2=4 Longrightarrow x^2=2 Longrightarrow x=pmraiz2
Como y=x, concluímos que os pontos são
(raiz2,raiz2) e (-raiz2,-raiz2)

Resposta

,(raiz2,raiz2) e (-raiz2,-raiz2)

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