Seja f(x)=arctan (2 x) e g(x)=f^[2](x).
O valor de l=g(-1) é
Resposta: (1) l=-8 / 25, (2) l=16 / 25, (3) l=8 / 25, (4) l=-16 / 25.

Passo 1

O enunciado define
f(x)=arctan(2x)
e diz que
g(x)=f^[2](x),
onde a notação f^[2] representa a segunda derivada de f, ou seja g(x)=f''(x).
Precisamos, portanto, calcular f''(-1).

Passo 2

Calculemos primeiro a derivada de f. Usando a regra da cadeia para
arctan(u) com u=2x, temos
f'(x)=u'1+u^2 =21+(2x)^2 =21+4x^2

Passo 3

Agora derivamos f'(x)=2(1+4x^2)^-1. Aplicando a regra do quociente ou a regra da potência, obtemos
f''(x) =2cdot(-1)(1+4x^2)^-2cdot(8x) =-16x,(1+4x^2)^-2

Passo 4

Bast a avaliar em x=-1:
f''(-1) =-16(-1)l(1+4(-1)^2r)^-2 =16,(1+4)^-2 =16cdot5^-2 =1625

Resposta

(2) l = tfrac1625

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