Nos casos a seguir, encontre o valor de b de modo que a equação dada seja uma edo exata. Em seguida, resolva tais equações com o valor de b encontrado:
cos ^2 x sen x d y+(y cos ^3(b x)-1) d x=0

Passo 1

Temos a EDO cos^2 x,sin x,dy + (ycos^3(bx)-1),dx = 0. Isso é uma equação diferencial de primeira ordem na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 com
M(x,y) = ycos^3(bx) - 1 e N(x,y) = cos^2 x,sin x. Para que seja exata, precisamos de
dfracpartial Mpartial y = dfracpartial Npartial x.

Passo 2

Calculando partial M/partial y:
partial Mpartial y = cos^3(bx)

Passo 3

Calculando partial N/partial x:
ddxl(cos^2 x,sin xr) = cos^3 x - 2cos x + 2cos^3 x = 3cos^3 x - 2cos x

Passo 4

A condição de exatidão impõe
cos^3(bx) = 3cos^3 x - 2cos xpara todo x

Passo 5

Não existe valor fixo de b que satisfaça essa identidade para todos os x. Portanto não há nenhum b que torne a equação exata.

Resposta

Não existe valor de b que torne a equação exata.

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